用奇数 XOR 计数对

什么是 XOR

XOR，全称为 eXclusive OR，又称为异或运算。它是一种二元运算符，用来比较两个二进制数的每一位。如果相应位置的数字不同，则该位置的结果为 1；否则为 0。

例如：

• 1 XOR 1 = 0
• 1 XOR 0 = 1
• 0 XOR 1 = 1
• 0 XOR 0 = 0

什么是计数对

计数对，也称为逆序对，指数组中的两个数字，若第一个数字大于第二个数字，则这两个数字组成一个逆序对。例如，数组 [2, 4, 1, 3, 5] 中包含 3 个逆序对：(2, 1)、(4, 1) 和 (4, 3)。

计数对是一种重要的问题，因为它们在排序算法中起着重要的作用。例如，在归并排序中，计数对的数量可以用来衡量数组的有序程度。

用奇数 XOR 计数对

在计数对问题中，我们使用暴力算法的时间复杂度通常为 O(n^2)。但是，我们可以使用 XOR 运算的特性，将此算法的时间复杂度降为 O(n)。

假设我们有一个数组 arr，我们想要找到其中逆序对的数量。我们可以遍历数组 arr，同时记录当前出现的奇数的数量（odd）。

当我们遇到一个数 num 时，我们计算当前数组中小于 num 的奇数的数量。为了实现这一点，我们可以 XOR num 和所有奇数，然后计算 XOR 的结果中 1 的个数。

具体实现如下：

def count_odd_xor_pairs(arr):
    odd = 0
    xor = 0
    count = 0
    for num in arr:
        if num % 2 == 1:
            odd += 1
        xor ^= num
        count += bin(xor).count('1') - odd
    return count

该算法的时间复杂度为 O(n)，空间复杂度为 O(1)。

总结

奇数 XOR 计数对是一种高效的算法，可以用于计算逆序对的数量。该算法的核心思想是使用 XOR 运算的特性，将 O(n^2) 的时间复杂度降为 O(n)。