资质 |门 CS 1998 |第 34 题

这是著名的“资质门”试题中的一道经典题目，出自《计算机科学教程》1998年版，第34题。

题目描述

一个长度为N（N<20000）的整数序列，假设其中有一个数x出现的次数超过了序列长度的一半，请写一个程序找到这个数x。

算法思路

这道题目有多种算法可以解决，以下介绍几种常见的方法。

1.暴力法

最简单的方法是使用两重循环，对于每个数i，计算出在序列中出现的次数，如果超过了一半，则返回i。

实现代码如下（Python）：

def brute_force(nums):
    for i in set(nums):
        if nums.count(i) > len(nums) // 2:
            return i

这种方法的时间复杂度为O(N²)，不适合大规模的数据。

2.哈希表法

为了降低时间复杂度，可以使用哈希表记录每个数出现的次数。具体来说，遍历整个序列，对于每个数i，将其作为哈希表的键，将该键对应的值加1。然后再遍历哈希表，查找出现次数超过一半的数。

实现代码如下（Python）：

def hash_table(nums):
    ht = {}
    for i in nums:
        if i not in ht:
            ht[i] = 0
        ht[i] += 1
    for k, v in ht.items():
        if v > len(nums) // 2:
            return k

这种方法的时间复杂度为O(N)，但需要额外的空间来存储哈希表。

3.排序法

我们也可以对序列进行排序，然后找到出现次数超过一半的数。由于这个数出现的次数超过了一半，所以在排序后，中间的数一定是我们要找的数。

实现代码如下（Python）：

def sort(nums):
    nums.sort()
    return nums[len(nums) // 2]

这种方法的时间复杂度为O(NlogN)，但不需要额外的空间。

4.摩尔投票法

摩尔投票法是一种比较巧妙的方法。在遍历序列时，维护两个变量，一个是maj，表示当前众数，另一个是count，表示众数出现的次数。初始时，maj为第一个数，count为1。然后开始遍历整个序列，如果当前数与maj相同，则count加1；否则，count减1。如果count为0了，则将当前数作为新的众数，count重置为1。最终，maj就是我们要找的数。

实现代码如下（Python）：

def moore_voting(nums):
    maj = nums[0]
    count = 1
    for i in range(1, len(nums)):
        if count == 0:
            maj = nums[i]
            count = 1
        elif nums[i] == maj:
            count += 1
        else:
            count -= 1
    return maj

这种方法的时间复杂度为O(N)，且不需要额外的空间。它是解决这道题目最优秀的方法之一。

总结

这道题目涉及到了多种算法思路，包括暴力法、哈希表法、排序法和摩尔投票法。其中，摩尔投票法是一种非常优秀的方法，既不需要额外的空间，又可以在线性时间内找到众数。