#矩阵链乘法

##介绍

矩阵链乘法是一类经典的动态规划问题，其目标是在给定一系列矩阵的情况下，求出这些矩阵相乘的最小代价。

该问题可以被应用于多种领域，如科学计算、图形学、网络通信等。

本篇文章将介绍该问题的动态规划解法，并提供代码实现。

##解法

假设我们有一系列矩阵 $A_1,A_2,...,A_n$，其中每个矩阵的大小为 $p_{i-1} \times p_i$，我们要将这些矩阵排列成一个乘积 $A_1A_2...A_n$。

我们可以用递归的方法来解决该问题，即首先拆分乘积 $A_1A_2...A_n$，然后递归地求出每个子问题的最小代价。假设我们要将乘积 $A_iA_{i+1}...A_j$ 拆分为新的两个矩阵乘积，其中 $i \leq j$：

$$ A_iA_{i+1}...A_j = (A_iA_{i+1}...A_k)(A_{k+1}A_{k+2}...A_j) $$

其中 $i \leq k < j$。

我们假设已经找到了拆分位置 $k$，那么我们可以计算出 $A_iA_{i+1}...A_k$ 和 $A_{k+1}A_{k+2}...A_j$ 的最小代价，然后将它们相加作为拆分位置 $k$ 的总代价。最后，我们将所有可能的拆分位置都计算一遍，并选择总代价最小的拆分位置作为最终解。

在递归解决该问题的过程中，我们需要存储每个子问题的最小代价，以便避免重复计算。因此，我们可以使用动态规划来优化该递归解决方法。具体来说，我们可以使用一个 $n \times n$ 的二维数组 $m$ 来存储每个子问题的最小代价。其中，$m_{i,j}$ 表示乘积 $A_iA_{i+1}...A_j$ 的最小代价。我们还需要使用一个 $n \times n$ 的二维数组 $s$ 来记录每个乘积的最佳拆分位置。其中，$s_{i,j}$ 表示乘积 $A_iA_{i+1}...A_j$ 的最佳拆分位置。

代码实现如下：

import sys

def matrix_chain_order(p):
    #p为矩阵大小的列表
    
    n = len(p) - 1
    m = [[0] * n for i in range(n)]
    s = [[0] * n for i in range(n)]
    
    for l in range(2,n+1):
        for i in range(n-l+1):
            j = i + l - 1
            m[i][j] = sys.maxsize
            for k in range(i,j):
                q = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i] * p[k+1] * p[j+1]
                if q < m[i][j]:
                    m[i][j] = q
                    s[i][j] = k
    
    return m,s

##应用

该问题的解法可以被应用于多种问题中。其中的一种是计算矩阵链上的最佳括号方案。

在矩阵乘积 $A_1A_2...A_n$ 中插入括号的方式有很多种，但是它们的效率却差别很大。因此，可以使用动态规划来找到最佳的括号方案，从而使得计算矩阵乘积的代价最小。

具体来说，我们可以将乘积 $A_iA_{i+1}...A_j$ 拆分为两个新的子乘积 $A_iA_{i+1}...A_k$ 和 $A_{k+1}A_{k+2}...A_j$，其中 $i \leq k < j$，那么乘积的代价为 $p_i p_k p_{j+1}$。然后，我们递归地计算 $A_iA_{i+1}...A_k$ 和 $A_{k+1}A_{k+2}...A_j$ 的最佳括号方案，并选择总代价最小的括号方案。

算法时间复杂度为 $O(n^3)$，应用场景广泛，是一种经典算法。