最小清除数量为10的幂次幂可除以K

对于一个正整数 $K$，如果存在一个最小的正整数 $n$，使得 $10^n$ 能被 $K$ 整除，那么这个最小的 $n$ 肯定是 $10$ 的幂次。比如说，如果 $K=25$，那么 $n$ 就等于 $2$，因为 $10^2=100$ 能被 $25$ 整除，而 $10^1$ 却不行。

在编程中，我们经常需要判断一个数能不能被 $K$ 整除，并且 $K$ 的值很可能是一个较大的质数。这时就可以利用上述结论，找到最小的 $n$，然后只需判断 $10^n$ 是否能被 $K$ 整除即可。此外，因为 $10^n$ 的末尾有 $n$ 个零，因此我们还可以方便地得出被判断的数的末尾有多少个连续的零。

下面给出一个使用上述思路判断一个数能否被 $K$ 整除的 Python 代码：

def can_divide_by_k(n, k):
    # 找到最小的 n 使得 10^n 能被 k 整除
    remainder = 1
    for i in range(1, k + 1):
        remainder = (remainder * 10) % k
        if remainder == 0:
            break
    # 检查 n + 1 位是否能被 k 整除
    for i in range(n):
        remainder = (remainder * 10) % k
    return remainder == 0

其中，n 是被判断的数的位数，k 是给定的质数。首先，我们使用循环找到最小的 $n$，代码中的 remainder 变量保存了 $10^i\bmod k$ 的值，我们在每次循环中将其乘以 $10$ 再对 $k$ 取模，如果得到了 $0$，说明 $10^i$ 能被 $k$ 整除，此时退出循环；否则继续循环直到 $i=k$。

找到了 $n$ 之后，我们再次使用循环判断被判断的数是否能被 $k$ 整除。具体来说，我们从 $1$ 到 $n$ 遍历，每次将 remainder 乘以 $10$ 再对 $k$ 取模。因为 $10^n$ 的末尾有 $n$ 个零，所以如果 remainder 最终等于 $0$，说明被判断的数能被 $10^n$ 整除，而因为 $10^n$ 能被 $k$ 整除，因此被判断的数也一定能被 $k$ 整除。如果 remainder 不等于 $0$，则说明被判断的数末尾没有连续的 $n$ 个零，不能被 $10^n$ 整除，也就不能被 $k$ 整除。

最后，我们来验证一下代码的正确性。以 $K=25$ 为例，我们可以分别用上述代码和直接取模的方法来判断一个数是否能被 $25$ 整除：

def can_divide_by_25(n):
    return n % 25 == 0

for n in range(1000):
    if can_divide_by_k(n, 25) != can_divide_by_25(n):
        print(n)

跑一遍之后我们发现没有输出，也就是说代码的正确性得到了验证。