门 | Gate IT 2007 | 问题13

本题为2007年“门”(Gate)考试中的问题13，是一道关于树的问题。要求实现一个算法，判断一棵有根树是否为二叉搜索树。

问题描述

给定一棵有根树，每个节点都有一棵子树。我们想要判断这棵树是否为二叉搜索树。

要求实现一个算法，判断这棵树是否为二叉搜索树。如果是，则返回"YES"，否则返回"NO"。

解决方案

算法思路

由于题目中要求的是一棵有根树是否为二叉搜索树，因此需要使用二叉搜索树的特性来判断。对于一棵二叉搜索树而言，对于任意一个节点，它的左子树的所有节点的值都小于这个节点的值；而它的右子树的所有节点的值都大于这个节点的值。因此，我们可以采用深度优先搜索的方法，在每个节点处，判断它的左子树与右子树是否满足上述条件。

代码实现

class Node:
    def __init__(self, val):
        self.val = val
        self.left = None
        self.right = None

def is_bst(root, lower=float('-inf'), upper=float('inf')):
    if not root:
        return True
    if not lower < root.val < upper:
        return False
    return is_bst(root.left, lower, root.val) and is_bst(root.right, root.val, upper)

# 测试样例
root = Node(5)
root.left = Node(3)
root.right = Node(8)
root.left.left = Node(1)
root.left.right = Node(4)
root.right.left = Node(6)
root.right.right = Node(10)
print(is_bst(root)) # True

上述代码中，我们定义了一个Node类，表示树的每个节点。is_bst函数就是判断一棵树是否为二叉搜索树的函数。它的输入参数root表示根节点；lower和upper表示二叉搜索树中所有节点的值的界限，初始值为负无穷和正无穷。在每个节点处，我们都判断它的值是否在界限内，并且递归调用左子树和右子树，最终返回一个布尔值。

复杂度分析

算法的时间复杂度为O(n)，其中n为树中的节点数。因为我们需要遍历一遍树，并且在每个节点处进行一次判断。空间复杂度为O(h)，其中h为树的高度。因为我们需要递归遍历树，空间复杂度取决于树的深度。