门| Sudo GATE 2021的测验|第50章

欢迎各位程序员来到《门| Sudo GATE 2021的测验|第50章》题目介绍页面。这道题目涉及图论中的最小生成树(Minimum Spanning Tree)，以及Prim算法和Kruskal算法的实现。

题目描述

给定一张无向图，每条边都有一个边权，现需要找到这张图的最小生成树。

输入

输入文件的第一行包含两个整数n和m，表示图中一共有n个节点（2<=n<=1e5）和m条边（1<=m<=1e6）。节点相连时可能存在自环和重边，自环的边权为0。接下来m行，每行包含三个整数u，v和w，表示连接节点u和节点v的边权为w的边。

输出

输出文件包含n-1行，每行描述最小生成树的一条边，按边权从小到大输出。每条边的格式应为'u v w'，其中u和v表示边的两端节点编号，w表示边权。

算法设计

本题的解法有两种，分别是Prim算法和Kruskal算法。接下来分别介绍这两种算法的基本思想和实现。

Prim算法

Prim算法是一种贪心算法，它以一个节点为起点，不断扩大当前的生成树，直到包含了所有节点为止。具体实现步骤如下：

1. 选取任意一个节点作为起点(本题默认选取节点1)，将其加入生成树中。

2. 每次从未加入生成树中的节点中，选取与当前生成树边最短的节点，并将其加入生成树中。

3. 重复第2步，直到生成树包含了所有的节点。

根据上述思路，我们可以使用堆优化的Prim算法来解决这道题目。具体实现请参考代码。

import heapq

def prim(n, edges):
    vis = [False] * (n+1)
    ans = []
    h = [(0, 1)]
    while h:
        cost, u = heapq.heappop(h)
        if vis[u]:
            continue
        vis[u] = True
        ans.append((u, parent[u], cost))
        for v, w in edges[u]:
            if not vis[v]:
                heapq.heappush(h, (w, v))
    return ans[1:]

Kruskal算法

Kruskal算法也是一种贪心算法，它同样能够求出一张图的最小生成树。具体实现步骤如下：

1. 将所有边按照边权从小到大排序。

2. 依次取出每一条边，如果这条边所连接的两个节点不在同一个集合中，则将它们合并，并将这条边加入生成树中。

3. 重复第2步，直到生成树包含了所有的节点。

根据上述思路，我们可以使用并查集来实现Kruskal算法。具体实现请参考代码。

def find(x, parent):
    if parent[x] == x:
        return x
    parent[x] = find(parent[x], parent)
    return parent[x]

def union(x, y, parent, size):
    root_x = find(x, parent)
    root_y = find(y, parent)
    if root_x != root_y:
        if size[root_x] < size[root_y]:
            root_x, root_y = root_y, root_x
        parent[root_y] = root_x
        size[root_x] += size[root_y]

def kruskal(n, edges):
    parent = [i for i in range(n+1)]
    size = [1] * (n+1)
    ans = []
    edges.sort(key=lambda x: x[2])
    for u, v, w in edges:
        if find(u, parent) != find(v, parent):
            ans.append((u, v, w))
            union(u, v, parent, size)
    return ans

总结

本题涉及到最小生成树问题，Prim算法和Kruskal算法的实现，以及堆优化的Prim算法和并查集的Kruskal算法等内容。掌握这些知识点不仅可以帮助我们解决这道题目，还能够解决许多涉及到图论和最小生成树的问题。祝各位程序员学有所获，代码能力更上一层楼！