门| GATE-CS-2005 |问题26

这道题目涉及到了图论中最小割问题，在实际算法中会用到很多组件和数据结构。

问题描述

有一个网络流图 $G=(V,E)$，其中 $V$ 是点集合，$E$ 是边集，网络流量满足 $c(u,v) = c(v,u)$ 和 $c(u,v) \geq 0$。我们还有两个定点 $s$ 和 $t$。我们需要在 $G$ 上进行某些流量操作，使得 $s$ 和 $t$ 不连通。假设我们可以通过减少某个边的权重来减少流量，我们需要找到在执行这种方法后的最小减少流量之和。

解决方案

这个问题可以使用最小割算法来解决。在网络流图 $G$ 上运行这个算法，可以找到 $s$ 和 $t$ 之间的最小割。

最小割算法的核心是在一些图分割上运行增广路算法。增广路算法通过增广流，使得从源点可达的节点数增加。如果最小割问题下的割一直均为 $0$，那么所有节点都是连通的，因此最小割唯一解就是 $0$。

为了实现最小割算法，我们可以使用 Dinic 算法。该算法需要以下数据结构：

• 预处理 BFS 程序
• 点分层函数和点阻塞函数
• 一个用于网络流的图

我们先计算 Dinic 算法的最大流以获得安全网络。安全网络是满足原图网络流中的最大流的子图。

然后我们使用一个迭代的最小割算法来计算全局最小割。每次迭代中，我们：

• 执行 BFS 并创建点分层函数（即寻找所有递增路径）。
• 然后执行 Dinic 算法，并通过更新点阻塞函数，将它们应用到新图中。
• 最终，我们可以找到 $s$ 和 $t$ 之间的最小割。

算法的时间复杂度大约为 $O(n^3)$，其中 $n$ 是节点数。 实现它的代码如下：

# implementation of Dinic Algorithm and Minimum Cut
from collections import deque

# The graph represents the flow network and capacities
class Graph:
    def __init__(self, vertices):
        self.V = vertices
        self.adj = [[] for _ in range(vertices)]

    # Add an edge and capacity to the graph
    def add_edge(self, u, v, w):
        self.adj[u].append(Edge(v, w, len(self.adj[v])))
        self.adj[v].append(Edge(u, 0, len(self.adj[u]) - 1))

    # Dinic algorithm, returns max-flow
    def max_flow(self, s, t):
        d = [-1] * self.V
        while bfs(self, s, t, d):
            iterflow = [0] * self.V
            while True:
                flow = dfs(self, s, t, float('inf'), iterflow, d)
                if not flow: break
            if iterflow[s] == 0: break
        return sum(iterflow[u] for u in self.adj[s])

    # Minimum cut, returns the edges of the cut
    def min_cut(self, s, t):
        self.max_flow(s, t)
        visited = [False] * self.V
        visited[s] = True
        queue = deque([s])
        while queue:
            u = queue.popleft()
            for e in self.adj[u]:
                if e.resid > 0 and not visited[e.to]:
                    visited[e.to] = True
                    queue.append(e.to)
        return [(i, e.idx) for i in range(self.V) for e in self.adj[i] if visited[i] and not visited[e.to]]

# Edge with a capacity and the residual capacity
class Edge:
    def __init__(self, to, cap, idx):
        self.to = to
        self.cap = cap
        self.idx = idx
        self.resid = cap

# Breadth-first search
def bfs(G, s, t, d):
    for u in range(G.V): d[u] = -1
    d[s] = 0
    queue = deque([s])
    while queue:
        u = queue.popleft()
        for e in G.adj[u]:
            if d[e.to] < 0 and e.resid > 0:
                d[e.to] = d[u] + 1
                queue.append(e.to)
    return d[t] >= 0

# Depth-first search
def dfs(G, u, t, f, iterflow, d):
    if u == t: return f
    flow = 0
    while iterflow[u] < len(G.adj[u]):
        e = G.adj[u][iterflow[u]]
        if d[e.to] == d[u] + 1 and e.resid > 0:
            res = dfs(G, e.to, t, min(f - flow, e.resid), iterflow, d)
            if res:
                flow += res
                e.resid -= res
                G.adj[e.to][e.idx].resid += res
                if flow == f: break
        iterflow[u] += 1
    return flow
    

# Testing the algorithms
graph = Graph(6)
graph.add_edge(0, 1, 12)
graph.add_edge(0, 2, 14)
graph.add_edge(1, 2, 5)
graph.add_edge(1, 3, 10)
graph.add_edge(2, 4, 8)
graph.add_edge(3, 2, 7)
graph.add_edge(3, 5, 5)
graph.add_edge(4, 3, 7)
graph.add_edge(4, 5, 10)

print('Max Flow:', graph.max_flow(0, 5))
print('Min Cut:', graph.min_cut(0, 5))

总结

最小割问题是图论中的一个经典问题，其算法时间复杂度大约为 $O(n^3)$，其中 $n$ 是节点数。最小割问题可以使用 Dinic 算法来解决，需要以下数据结构：

• 预处理 BFS 程序
• 点分层函数和点阻塞函数
• 一个用于网络流的图

最小割算法可以应用于许多问题，如图像分割等。