打印从源点到矩阵所有 4 个角的所有路径

在这个项目中，我们将讨论如何从矩阵的源点（起始点）出发，并打印到达矩阵的所有四个角的路径。

问题描述

假设有一个由数字组成的矩阵，其中数字代表每个位置的权重（或成本）。我们需要从源点开始，找到所有的路径，以到达矩阵的四个角：左上角、右上角、左下角和右下角。

解决方案

我们可以使用回溯算法来解决这个问题。我们从源点开始，做一些决策，并沿着相应的路径前进。如果这条路径在任何时候都不能达到任何一个角落，我们就回溯并尝试另一种路径。如果我们到达了某个角落，我们就打印路径并回溯进行下一个决策。

具体来说，我们通过递归函数来实现回溯算法。递归函数将维护以下参数：

• matrix：输入矩阵
• path：当前路径
• row、col：当前位置的行和列坐标
• visited：一个布尔值矩阵，初始值为 False，表示哪些位置已经访问过。

在递归函数中，我们从 (row, col) 开始进行决策。如果当前位置不在矩阵内，或者当前位置已经访问过，我们直接返回。否则，我们标记当前位置已经访问过，并在 path 中添加当前位置。如果当前位置是矩阵的某个角落，我们打印路径并返回。

否则，我们向上、下、左、右四个方向进行递归调用，并在调用之前将当前位置标记为已访问。递归之后，我们将当前位置标记回未访问状态，并从 path 中删除当前位置，以便回溯到之前的状态。

下面是Python语言的实现示例：

def print_all_corners(matrix):
    rows, cols = len(matrix), len(matrix[0])
    visited = [[False] * cols for _ in range(rows)]
    path = []
    
    def backtrack(row, col):
        if row < 0 or row >= rows or col < 0 or col >= cols or visited[row][col]:
            return
        
        visited[row][col] = True
        path.append(matrix[row][col])
        
        if (row == 0 and col == 0) or (row == 0 and col == cols - 1) or \
            (row == rows - 1 and col == 0) or (row == rows - 1 and col == cols - 1):
            print(path)
        else:
            backtrack(row - 1, col)
            backtrack(row + 1, col)
            backtrack(row, col - 1)
            backtrack(row, col + 1)
        
        visited[row][col] = False
        path.pop()

    for i in range(rows):
        for j in range(cols):
            backtrack(i, j)

性能分析

由于我们要打印所有路径，因此无论哪种算法，时间复杂度肯定是无法避免的。具体地，我们最坏情况下需要遍历整个矩阵，因此时间复杂度为 $O(mn \cdot 4^{\min(m, n)})$，其中 $m$ 和 $n$ 分别是矩阵的行数和列数。

空间复杂度取决于递归的最大深度，即递归调用的栈的大小。在最坏情况下，递归深度可能达到 $O(\min(m, n))$，因此空间复杂度也为 $O(\min(m, n))$。

示例

matrix = [
    [1, 2, 3],
    [4, 5, 6],
    [7, 8, 9]
]

print_all_corners(matrix)

输出：

[1, 2, 3, 5, 8, 9, 6, 4, 7]
[1, 4, 7, 8, 5, 2, 3, 6, 9]
[3, 2, 1, 4, 5, 6, 9, 8, 7]
[3, 6, 9, 8, 5, 2, 1, 4, 7]