找到 X 的最小值

给定一个整数数组 arr 和一个整数数组 brr，以及一个整数 K。求 X 的最小值，使得 $\sum_{i=0}^{n-1}{(arr[i] - X)^{brr[i]}} \leq K$。

解法

为了简化计算，我们可以将 $arr[i]$ 按非降序排序。此时，对于每个 $i$，如果对于所有满足 $j < i$ 的 $j$，均有 $arr[j] - X \leq arr[i] - X$，那么可以把 $arr[i]$ 看作是所有 $arr[j]$ 的下限。此时，如果 $X$ 越大，更新的值也越大，即更新函数是单调的。那么我们可以二分最优的 $X$。

假设我们要求二分左端点 $l$ 和右端点 $r$，二分过程中维护一个变量 $sum$（即 $\sum_{i=0}^{n-1}{(arr[i] - X)^{brr[i]}}$）。对于每次的二分尝试，如果 $sum \leq K$，则更新左端点 $l$；否则更新右端点 $r$。当 $r-l=1$ 时，即找到了最小的 $X$，再返回 $l$ 即可。

由于求幂操作是 $O(\log brr_i)$ 的，总的时间复杂度是 $O(n \log^2 n)$。可以通过将 log 小定值来进行优化。

代码

def findX(arr, brr, K):
    n = len(arr)
    arr_brr = list(zip(arr, brr))
    arr_brr.sort()

    def calc_sum(x):
        s = 0
        for i in range(n):
            s += (arr_brr[i][0] - x) ** arr_brr[i][1]
        return s

    l, r = arr_brr[0][0], arr_brr[-1][0]
    while l < r - 1:
        mid = (l + r) // 2
        if calc_sum(mid) > K:
            l = mid
        else:
            r = mid
    if calc_sum(l) <= K:
        return l
    else:
        return r