计算数组中的 (i, j) 对

本文介绍如何计算数组中满足条件 $i < j$ 且 $arr[j] - arr[i] = X \times (j - i)$ 的 $(i, j)$ 个数。

问题分析

首先，我们可以将方程进行变形，得到 $arr[j] - j \times X = arr[i] - i \times X$。因此，我们可以将 $arr$ 数组中的每个值都减去其下标乘以 $X$，将问题转化为寻找满足 $i < j$ 且 $arr[j] - j \times X = arr[i] - i \times X$ 的 $(i, j)$ 组合数。

这个问题可以用哈希表来解决。对于数组中的每个元素，我们将其减去其下标乘以 $X$ 后的值作为哈希表的键，其下标作为哈希表的值。遍历数组时，对于每个 $j$，我们在哈希表中查找 $arr[j] - j \times X$ 对应的值，如果存在，则说明存在符合条件的 $(i, j)$ 对。

实现代码如下：

def count_pairs(arr, X):
    hash_table = {}
    count = 0
    for j in range(len(arr)):
        if arr[j]-j*X in hash_table:
            count += len(hash_table[arr[j]-j*X])
        if arr[j]-j*X not in hash_table:
            hash_table[arr[j]-j*X] = []
        hash_table[arr[j]-j*X].append(j)
    return count

性能分析

时间复杂度为 $O(n)$，空间复杂度为 $O(n)$。该算法的优点是简单易懂，缺点是需要额外的空间来存储哈希表。

小结

本文介绍了如何使用哈希表计算数组中满足条件的 $(i, j)$ 对数。通过将 $arr$ 数组中的每个值减去其下标乘以 $X$，我们将问题转化为寻找相等的值对应的下标的组合数。虽然这种方法需要额外的空间来存储哈希表，但是时间复杂度较低，可以处理大规模的数据。