资质考试介绍 - GATE IT 2006 - 问题8

GATE IT (Graduate Aptitude Test in Engineering - Information Technology)是印度国家的研究生入学考试之一，旨在测试考生在计算机科学和信息技术领域的知识和能力。GATE IT考试包含多个问题，其中问题8是本次介绍的主题。

问题8

问题8测试考生在计算机科学中的数据结构和算法知识。具体问题如下：

对于一个二叉树，假设左子树和右子树高度相差不超过1，并且左子树和右子树都是平衡二叉树。证明该二叉树也是平衡二叉树。

题目解析

这是一道很典型的数据结构题目。我们可以从二叉树性质出发进行推导：

假设二叉树的高度为h，则根节点有两个子节点：左子树和右子树。若左子树高度为hl，右子树高度为hr，则因为左右子树高度相差不超过1，故hl-hr<=1, hr-hl<=1。

根据平衡二叉树的定义，左右子树都是平衡二叉树。不妨设左子树的平衡因子为左子树的高度减去右子树的高度，右子树的平衡因子为右子树的高度减去左子树的高度。若左右子树高度相等，则两个平衡因子都为0；若左子树高度大于右子树高度，则左子树的平衡因子为正值，右子树的平衡因子为负值。

根据题目条件，左右子树都是平衡二叉树，所以它们的平衡因子分别在-1,0,1之间。那么根节点的平衡因子应该是左右子树平衡因子的绝对值之差，即：

abs(hl-hr)<=1, abs(hr-hl)<=1

结合左右子树的平衡因子范围，得到：

abs(hl-hr)<=1, abs(hr-hl)<=1, hl-hr<=1, hr-hl<=1

也就是说，根节点的平衡因子也在-1,0,1之间，因此该二叉树也是平衡二叉树。

总结

这道题目的解法比较巧妙，需要考生熟悉平衡二叉树的定义和性质，从根节点出发进行推导。在面试中，类似的数据结构题目经常出现，是对程序员数据结构知识的考验。同时，平衡二叉树也是常用的数据结构之一，在实际应用中的优越性也被广泛认可。因此，掌握平衡二叉树的知识对程序员来说十分重要。