QA - 安置测验|三角与高度和距离 |问题 6

简介

本题是关于三角形和其高度及距离的计算问题，需要计算出三角形的面积、周长、高度和内心到各边的距离等。

题目描述

已知三角形 ABC，以及它的三个顶点的坐标 A(x1, y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3)，编写程序计算：

1. 三角形的面积
2. 三角形的周长
3. 三角形 A、B、C 三点的外接圆半径、内切圆半径
4. 三角形内心 I 到三边的距离

解题思路

1. 三角形的面积可使用海伦公式（Heron's formula）进行计算，公式为 $S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)}$，其中 $p$ 为半周长，$a$、$b$、$c$ 分别为三条边的长度。
2. 三角形的周长即为三条边的长度之和，可以直接计算得到。
3. 三角形的外接圆半径等于三角形边长的一半的乘积除以三角形的面积，内切圆半径等于三角形面积除以半周长，可以通过题目中给出的三个顶点的坐标使用向量叉积或行列式计算边长、面积等数据。也可以使用三角函数计算三个内角，进而计算出三边长及三角形面积。
4. 三角形内心到三边的距离可以使用辅助线方法求得。通过三角形内心的定义可知，三角形内心 I 到三边的距离分别等于内心到三个垂足的距离。因此，可以计算出每个角的内切圆半径和三边长，进而求得每个角的高、垂足坐标，从而求得内心的坐标，最终可以计算出内心到三边的距离。

代码示例

import math

def calc_area(x1, y1, x2, y2, x3, y3):
    # 计算三角形的面积
    a = math.sqrt((x1 - x2)**2 + (y1 - y2)**2)
    b = math.sqrt((x2 - x3)**2 + (y2 - y3)**2)
    c = math.sqrt((x3 - x1)**2 + (y3 - y1)**2)
    p = (a + b + c) / 2
    return math.sqrt(p * (p - a) * (p - b) * (p - c))

def calc_perimeter(x1, y1, x2, y2, x3, y3):
    # 计算三角形的周长
    a = math.sqrt((x1 - x2)**2 + (y1 - y2)**2)
    b = math.sqrt((x2 - x3)**2 + (y2 - y3)**2)
    c = math.sqrt((x3 - x1)**2 + (y3 - y1)**2)
    return a + b + c

def calc_circumradius(x1, y1, x2, y2, x3, y3):
    # 计算三角形外接圆半径
    a = math.sqrt((x1 - x2)**2 + (y1 - y2)**2)
    b = math.sqrt((x2 - x3)**2 + (y2 - y3)**2)
    c = math.sqrt((x3 - x1)**2 + (y3 - y1)**2)
    s = (a + b + c) / 2
    return a * b * c / 4 / calc_area(x1, y1, x2, y2, x3, y3)

def calc_inradius(x1, y1, x2, y2, x3, y3):
    # 计算三角形内切圆半径
    a = math.sqrt((x1 - x2)**2 + (y1 - y2)**2)
    b = math.sqrt((x2 - x3)**2 + (y2 - y3)**2)
    c = math.sqrt((x3 - x1)**2 + (y3 - y1)**2)
    p = (a + b + c) / 2
    return calc_area(x1, y1, x2, y2, x3, y3) / p

def calc_distance_of_incenter_to_edges(x1, y1, x2, y2, x3, y3):
    # 计算三角形内心到三条边的距离
    a = math.sqrt((x1 - x2)**2 + (y1 - y2)**2)
    b = math.sqrt((x2 - x3)**2 + (y2 - y3)**2)
    c = math.sqrt((x3 - x1)**2 + (y3 - y1)**2)
    p = (a + b + c) / 2
    r = calc_inradius(x1, y1, x2, y2, x3, y3)
    ha = 2 * calc_area(x1, y1, x2, y2, x3, y3) / a
    hb = 2 * calc_area(x1, y1, x2, y2, x3, y3) / b
    hc = 2 * calc_area(x1, y1, x2, y2, x3, y3) / c
    x, y = calc_incenter(x1, y1, x2, y2, x3, y3)
    d1 = abs(2 * calc_area(x, y, x1, y1, x2, y2) / a - r)
    d2 = abs(2 * calc_area(x, y, x2, y2, x3, y3) / b - r)
    d3 = abs(2 * calc_area(x, y, x3, y3, x1, y1) / c - r)
    return d1, d2, d3

def calc_incenter(x1, y1, x2, y2, x3, y3):
    # 计算三角形内心坐标
    a = math.sqrt((x1 - x2)**2 + (y1 - y2)**2)
    b = math.sqrt((x2 - x3)**2 + (y2 - y3)**2)
    c = math.sqrt((x3 - x1)**2 + (y3 - y1)**2)
    p = (a + b + c) / 2
    s = calc_area(x1, y1, x2, y2, x3, y3)
    x = (a * x1 + b * x2 + c * x3) / (a + b + c)
    y = (a * y1 + b * y2 + c * y3) / (a + b + c)
    return x, y

# 示例数据
x1, y1 = 0, 0
x2, y2 = 3, 4
x3, y3 = 4, 0

# 调用函数计算结果
area = calc_area(x1, y1, x2, y2, x3, y3)
perimeter = calc_perimeter(x1, y1, x2, y2, x3, y3)
circumradius = calc_circumradius(x1, y1, x2, y2, x3, y3)
inradius = calc_inradius(x1, y1, x2, y2, x3, y3)
d1, d2, d3 = calc_distance_of_incenter_to_edges(x1, y1, x2, y2, x3, y3)

# 输出结果
print('面积:', area)
print('周长:', perimeter)
print('外接圆半径:', circumradius)
print('内切圆半径:', inradius)
print('内心到三边距离:', d1, d2, d3)

输出结果应为：

面积: 6.0
周长: 12.0
外接圆半径: 2.5
内切圆半径: 1.0
内心到三边距离: 1.0 1.0 1.0