求复数 $z = e^2 + 4i$ 的实部和虚部

在复数 $z = a + bi$ 中，$a$ 称为实部，$b$ 称为虚部。要求复数 $z = e^2 + 4i$ 的实部和虚部，可以按照以下步骤进行：

1. 将指数形式的复数 $e^2$ 转换成三角函数的形式，即 $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$。这里 $\theta = 2$，因此 $e^2 = e^{2i}$，将 $2$ 代入得： $$ e^{2i} = \cos 2 + i \sin 2 $$

2. 将 $e^2$ 和 $4i$ 分别表示为实部和虚部的形式，即： $$ e^2 = \cos 2 + i \sin 2 = \mathrm{Re}(e^{2i}) + \mathrm{Im}(e^{2i})i\ 4i = 0 + 4i = \mathrm{Re}(0) + \mathrm{Im}(4i)i $$

3. 将两个复数相加，得到： $$ z = e^2 + 4i = (\mathrm{Re}(e^{2i}) + \mathrm{Im}(e^{2i})i) + (\mathrm{Re}(0) + \mathrm{Im}(4i)i)\ = \cos 2 + 4i + i \sin 2 $$

4. 根据实部和虚部的定义，得到 $z$ 的实部和虚部分别为： $$ \mathrm{Re}(z) = \cos 2\ \mathrm{Im}(z) = 4 + \sin 2 $$

因此，$z = e^2 + 4i$ 的实部为 $\cos 2$，虚部为 $4 + \sin 2$。

在 Python 中，可以使用 math 模块中的 cos 和 sin 函数计算 $\cos 2$ 和 $\sin 2$，代码如下：

import math

real_part = math.cos(2)  # 实部
imag_part = 4 + math.sin(2)  # 虚部

print(f"实部为：{real_part}")
print(f"虚部为：{imag_part}")

输出结果为：

实部为：-0.4161468365471424
虚部为：4.909297426825681

因此，$z = e^2 + 4i$ 的实部为 $-0.4161468365471424$，虚部为 $4.909297426825681$。

Markdown 格式代码片段

### 求复数 $z = e^2 + 4i$ 的实部和虚部

在复数 $z = a + bi$ 中，$a$ 称为实部，$b$ 称为虚部。要求复数 $z = e^2 + 4i$ 的实部和虚部，可以按照以下步骤进行：

1. 将指数形式的复数 $e^2$ 转换成三角函数的形式，即 $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$。这里 $\theta = 2$，因此 $e^2 = e^{2i}$，将 $2$ 代入得：
$$
e^{2i} = \cos 2 + i \sin 2
$$

2. 将 $e^2$ 和 $4i$ 分别表示为实部和虚部的形式，即：
$$
e^2 = \cos 2 + i \sin 2 = \mathrm{Re}(e^{2i}) + \mathrm{Im}(e^{2i})i\\
4i = 0 + 4i = \mathrm{Re}(0) + \mathrm{Im}(4i)i
$$

3. 将两个复数相加，得到：
$$
z = e^2 + 4i = (\mathrm{Re}(e^{2i}) + \mathrm{Im}(e^{2i})i) + (\mathrm{Re}(0) + \mathrm{Im}(4i)i)\\
= \cos 2 + 4i + i \sin 2
$$

4. 根据实部和虚部的定义，得到 $z$ 的实部和虚部分别为：
$$
\mathrm{Re}(z) = \cos 2\\
\mathrm{Im}(z) = 4 + \sin 2
$$

因此，$z = e^2 + 4i$ 的实部为 $\cos 2$，虚部为 $4 + \sin 2$。

在 Python 中，可以使用 math 模块中的 cos 和 sin 函数计算 $\cos 2$ 和 $\sin 2$，代码如下：

    import math

    real_part = math.cos(2)  # 实部
    imag_part = 4 + math.sin(2)  # 虚部

    print(f"实部为：{real_part}")
    print(f"虚部为：{imag_part}")

因此，$z = e^2 + 4i$ 的实部为 $-0.4161468365471424$，虚部为 $4.909297426825681$。