国际空间研究组织 | ISRO CS 2015 |问题 62

问题描述

给定两个已排序的数组A1和A2，大小为m和n。我们需要在O(logn)的时间复杂度内找到这两个数组的中位数。

解决方案

一个简单直接的思路是将A1和A2合并成一个已排序的数组B，然后找到B的中位数。但这种方法需要O(m+n)的时间复杂度，不满足题目要求。

我们可以尝试使用二分查找的思想，将问题转化为在A2中查找一个位置i，使得：

1. A1中小于等于A2[i]的元素个数为（m+n+1）/2。
2. A2中小于等于A2[i]的元素个数为（m+n+1）/2。

这样我们就将问题转化为在A2中查找目标位置i的问题。

为了方便讨论，我们假设m<=n，那么可以将i分为两部分：i在A2中的位置j和i在A1中的位置k=i-j-1。

由于A1和A2都是有序的，如果我们已知j，那么可以通过比较A2[j-1]、A2[j]、A1[k]、A1[k+1]四个数的大小关系来判断i是否是中位数。

完整的代码实现如下：

class Solution:
    def findMedianSortedArrays(self, nums1: List[int], nums2: List[int]) -> float:
        m, n = len(nums1), len(nums2)
        if m > n:
            nums1, nums2, m, n = nums2, nums1, n, m
        imin, imax, half_len = 0, m, (m+n+1) // 2
        while imin <= imax:
            i = (imin + imax) // 2
            j = half_len - i
            if i < m and nums2[j-1] > nums1[i]:
                imin = i + 1
            elif i > 0 and nums1[i-1] > nums2[j]:
                imax = i - 1
            else:
                if i == 0: max_of_left = nums2[j-1]
                elif j == 0: max_of_left = nums1[i-1]
                else: max_of_left = max(nums1[i-1], nums2[j-1])
                if (m + n) % 2 == 1:
                    return max_of_left
                if i == m: min_of_right = nums2[j]
                elif j == n: min_of_right = nums1[i]
                else: min_of_right = min(nums1[i], nums2[j])
                return (max_of_left + min_of_right) / 2

参考链接

1. LeetCode官方题解