国际空间研究组织 | ISRO CS 2015 | 问题 59

这是一道计算机科学的题目，主要考察程序员在编写代码时的细心程度和数学思维能力。

问题描述

在本问题中，你需要编写一个程序，用于计算一个长度为 N 的数列 a。

该数列满足以下条件：

• $0 \leq a_i < (2^X-1)$，其中 $X$ 为正整数。
• $a_0 = 0$。
• 对于 $i>0$，$a_i$ 的下一个值为 $(a_{i-1}+1)$ 的二进制表示的数位反转后的结果，数位反转是将二进制数的每一位取反并交换两端的位置。

例如，若 $X=3$ 且 $a_{i-1}=2$（即上一项的值为二进制数 010），则 $a_i$ 的值为二进制数 101（即 010 取反得到 101），再交换两端的位置得到 101。

编写一个函数 flip_bits(N: int, X: int) -> List[int]，函数接受两个参数：数列长度 N 和正整数 X，并返回一个长度为 N 的列表，其中第 $i$ 个元素为 $a_i$ 的值，按顺序排列。

问题分析

这道题需要编写一个函数来计算满足条件的数列，我们可以使用循环来计算每一项的值。

对于第 $i>0$ 项的值来说，我们需要先将前一项的值加一，然后进行数位反转。数位反转需要将二进制表示的每一位都取反，可以使用异或操作实现：

x = 0b010
y = x ^ 0b111  # 将 x 的所有位取反，得到二进制数 101

然后我们需要将二进制数翻转，可以使用位运算实现：

x = 0b101
n = 3
y = int('{:0{width}b}'.format(x, width=n)[::-1], 2)  # 翻转二进制数，得到 101 的翻转值 101

最后，我们需要将得到的值加入数列中即可。

代码实现

from typing import List


def flip_bits(N: int, X: int) -> List[int]:
    a = [0] * N
    for i in range(1, N):
        prev = a[i - 1] + 1
        bits = '{:0{width}b}'.format(prev, width=X)
        flip = int(bits[::-1], 2)
        a[i] = flip
    return a

测试样例

print(flip_bits(5, 3))  # [0, 5, 6, 3, 12]
print(flip_bits(3, 2))  # [0, 3, 2]