检查无向图的连通性

在无向图中，我们往往需要检查图中任意两个点是否在同一个连通分量中。这对于很多算法和应用来说都是非常重要的。

以下是一种简单的实现方法，基于深度优先搜索（DFS）。

代码实现

n = 10  # 图中点的总数
graph = [[] for _ in range(n)]  # 图的邻接表表示

# 初始化图，省略若干行代码

def dfs(u, visited):
    visited[u] = True
    for v in graph[u]:
        if not visited[v]:
            dfs(v, visited)

def is_connected(x, y):
    visited = [False] * n
    dfs(x, visited)
    return visited[y]

# 使用示例
print(is_connected(0, 1))  # True
print(is_connected(0, 2))  # False

解释说明

我们首先构建了一个空的图，然后假设图中有 $n$ 个点。邻接表 graph 是一个长度为 $n$ 的列表，其中每个元素都表示与该点相连的点的列表。

dfs 函数实现了深度优先搜索，用于遍历图中所有与起点 u 直接或间接相连的点。在这个过程中，我们用一个布尔数组 visited 记录每个点是否被访问过。

最后，我们使用 is_connected 函数来检查两个给定的点 x 和 y 是否在同一个连通分量中。具体地说，我们从 x 开始进行一次深度优先搜索，并标记经过的所有点；然后检查 y 是否被标记，如果是就说明两个点在同一个连通分量中，否则它们不在同一个连通分量中。

注意，我们在每次调用 is_connected 函数时都需要新建一个 visited 数组，因为每个调用可能会更新 visited。如果我们不新建这个数组，那么可能会导致函数返回错误的结果。

时间复杂度

这个算法的时间复杂度是 $O(n + m)$，其中 $m$ 是边数。这是因为我们需要对每个点和每条边都进行一次访问。

可优化性

我们可以通过一些优化来提高效率，例如：

• 采用广度优先搜索算法，可以提高效率，并且避免使用递归的调用栈；
• 对于较大的图，我们可以采用并查集来维护每个点的连通性，具有更好的时间复杂度。