门| GATE-CS-2004 |第68章

简介

GATE-CS-2004是计算机科学考试（GATE）中的一个题目，属于第68章。本题涉及到线性代数、概率论、离散数学等多个数学领域，同时也测试了程序员的编程能力。

题目描述

有$n$个门，分别编号为$1$到$n$。每个门都可以是打开或关闭状态。开始时，所有的门都是关闭状态。有$m$个人接下来要操作这些门。第$i$个人会打开编号为$j_i$的门（如果它原来是关闭状态），或关闭编号为$j_i$的门（如果它原来是打开状态）。每个人只能操作一个门。所有人操作完后，需要回答下列问题：有多少个门是开着的？

解题思路

这道题可以使用一种巧妙的方法来解决。对于门的状态，我们可以使用$1$表示开着，$-1$表示关闭。例如，某个门原来是关闭状态，被某个人打开了，那么它的状态就变成了$1$。如果它之后又被另一个人关闭了，那么它的状态就变成了$-1$。这样，最终所有门的状态的和就代表了开着的门的个数。

例如，如果第一个人打开了第三个门，第二个人关闭了第五个门和第七个门，那么所有门的状态如下所示：

| 门号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | 状态 | -1 | -1 | 1 | -1 | -1 | -1 | -1 |

这里所有门的状态的和为$-5$，因此开着的门的个数是$(n-(-5))/2$。

代码实现

可以使用Python来实现上述解题思路。假设$n$和$m$已经给出，$j_1,j_2,\cdots,j_m$表示$m$个人操作的门的编号。则可以按照下列代码实现：

n = 10  # 门的数量
m = 5   # 有5个人

# 初始所有门的状态均为-1（关闭状态）
doors = [-1] * n

# 对每个人的操作进行处理
for i in range(m):
    j = 2 * i + 1  # 第i个人要操作的门的编号

    # 如果门的状态是-1（关闭），则打开它（状态置为1）
    if doors[j-1] == -1:
        doors[j-1] = 1

    # 如果门的状态是1（打开），则关闭它（状态置为-1）
    else:
        doors[j-1] = -1

# 统计开着的门的数量
num_open_doors = (n - sum(doors)) // 2

print("开着的门的数量为：", num_open_doors)

上述代码中，先将所有门的状态初始化为$-1$（即关闭状态）。然后对于每个人的操作，可以通过判断门的状态来实现打开和关闭操作。最后统计所有门的状态的和，计算出开着的门的数量。