门 | GATE-CS-2006 |第 68 题

题目描述

给定有向无环图G = (V,E)，以及一个包含权值的集合S，其中每个权值对应于G的一条边。请设计一种算法来计算出一条从源节点s到汇节点t的最长路径，并输出该最长路径的权值之和。其中，源节点和汇节点分别为已知顶点。需要自行实现该算法。

解题思路

这是一道经典的图论问题，可以用拓扑排序和动态规划来解决。

通过拓扑排序，我们可以将图G进行拓扑排序，从而得到G的所有顶点的拓扑序列。对于每个顶点v，我们可以计算出从源节点s到v的最长路径，这个最长路径是由前驱节点组成的一个链。然后，我们按照拓扑序列从源节点s到汇节点t，逐个计算每个节点的最长路径。在计算节点v的最长路径时，只需要考虑其所有入边的前驱节点u的最长路径，并选取其中最大的路径加上(u,v)的权值就是v的最长路径。最终，节点t的最长路径就是从源节点s到汇节点t的最长路径。

动态规划的思想是一样的，对每个顶点v，可以定义一个状态f(v)，表示从源节点s到v的最长路径。对于每个顶点v，它的前驱节点u一定是已经被处理过的节点，因此计算f(v)时，只需要考虑所有入边的前驱节点u的f(u)值，选取其中最大的值加上(u,v)的权值就是f(v)的值。

代码实现

以下是用Python实现该算法的代码：

def longest_path_dag(G, s, t, S):
    n = len(G)
    dist = [float('inf')] * n
    pred = [None] * n
    dist[s] = 0
    topo_order = topo_sort(G)
    for u in topo_order:
        if u == s:
            continue
        for v in G[u]:
            if dist[v] > dist[u] + S[(u, v)]:
                dist[v] = dist[u] + S[(u, v)]
                pred[v] = u
    path = []
    u = t
    while u is not None:
        path.append(u)
        u = pred[u]
    path.reverse()
    return dist[t], path
     
def topo_sort(G):
    n = len(G)
    in_degrees = [0] * n
    for u in range(n):
        for v in G[u]:
            in_degrees[v] += 1
    queue = []
    for u in range(n):
        if in_degrees[u] == 0:
            queue.append(u)
    topo_order = []
    while len(queue) > 0:
        u = queue.pop(0)
        topo_order.append(u)
        for v in G[u]:
            in_degrees[v] -= 1
            if in_degrees[v] == 0:
                queue.append(v)
    return topo_order

总结

本题考查了图论中的最长路径问题，是一道很典型的拓扑排序及动态规划的应用题。对于该问题，我们可以使用拓扑排序算法和动态规划算法来求解。其中，拓扑排序算法的时间复杂度为O(|V|+|E|)，动态规划算法的时间复杂度为O(|V||E|)。因此，如果图G非常稠密，则使用拓扑排序算法更为高效；如果图G非常稀疏，则使用动态规划算法更为高效。