镜像公式的推导

在数学中，镜像（Reflection）是指通过一个面将一个点或物体对称，使它们成为对称轴的镜像图形。而镜像公式则是指通过一个平面（镜面）将一个点对称后的坐标计算公式。在计算机图形学中，我们经常会使用镜像公式进行图形的变换。

一维情况

在一维情况下，我们可以将一个点 $p$ 沿着一个点 $a$ 进行镜像，得到点 $p'$ 的坐标计算公式如下：

$p' = 2a - p$

在代码中，可以实现如下：

def reflection(p, a):
    return 2 * a - p

二维情况

在二维情况下，我们可以将一个点 $(x, y)$ 沿着一个点 $(a, b)$ 进行镜像，得到点 $(x', y')$ 的坐标计算公式如下：

$x' = 2a - x$

$y' = 2b - y$

同样的，在代码中，可以实现如下：

def reflection_2d(point, center):
    return (2 * center[0] - point[0], 2 * center[1] - point[1])

三维情况

在三维情况下，我们可以将一个点 $(x, y, z)$ 沿着一个平面进行镜像，得到点 $(x', y', z')$ 的坐标计算公式如下：

$2p·n - p'$

其中，$n$ 为镜面的法向量，$p$ 为点 $p'$ 在镜面上的垂足。

同样的，在代码中，可以实现如下：

def reflection_3d(point, plane_normal, point_on_plane):
    p = np.array(point_on_plane)
    n = np.array(plane_normal)
    return point - 2 * np.dot(point - p, n) * n

上述代码中，我们使用了 NumPy 库来处理矩阵计算。值得注意的是，在三维镜像中，我们需要使用点 $p$ 和法向量 $n$ 来计算点 $p'$ 在镜面上的垂足。我们可以使用点到直线的垂线公式：

$p' = p + \frac{(p-Q)\cdot n}{n^2}n$

其中，$Q$ 为点 $p'$ 在直线 $n$ 上的投影点。

总结

镜像公式是一种十分重要的图形变换，在计算机图形学、计算机视觉等领域都有着广泛的应用。通过本文的介绍，我们了解了镜像公式的推导方法，并实现了一维、二维、三维的镜像变换。在实际开发中，我们可以使用这些方法来实现图形的镜像变换。