平均自由程

定义

平均自由程是指在气体分子间碰撞时，分子之间传递的平均距离。它是描述气体分子运动的一个重要参数。

公式

平均自由程可以通过以下公式计算：

$\lambda=\frac{k_BT}{\sqrt{2}\pi d^2p}$

其中，$\lambda$表示平均自由程，$k_B$为玻尔兹曼常数，$T$为气体的温度，$d$表示气体分子的直径，$p$表示气体的压强。

推导

我们可以通过计算一个分子横向穿过另一个分子所需的平均距离来得到平均自由程。根据概率分布的理论，横向穿越另一个分子的分子的距离应该服从瑞利分布。因此，平均自由程可以通过均方根距离得到：

$\lambda=\frac{1}{\sqrt{2}\pi}\int_0^\infty rdN(r)$

其中，$N(r)$表示单位体积内半径为$r$到$r+dr$的分子数密度。假设分子数密度呈指数衰减，则：

$N(r)=N_0e^{-r/\lambda}$

代入上式，得到：

$\lambda=\frac{k_BT}{\sqrt{2}\pi d^2p}$

示例

假设我们有一缸氧气，温度为300K，压强为1 atm，氧气分子的直径为3 angstrom。根据上述公式，我们可以计算出氧气分子的平均自由程：

$\lambda=\frac{k_BT}{\sqrt{2}\pi d^2p}=\frac{1.38\times10^{-23}\times300}{\sqrt{2}\times\pi\times(3\times10^{-10})^2\times101325}=6.2\times10^{-8}m$

因此，氧气分子在这个条件下传递的平均距离为6.2纳米。