从给定 3 个数组的任何排列中最大化增加的三元组的计数

题目描述

给定三个长度为n的数组a、b和c。 我们需要计算形如(i, j, k)的三元组的数量，它们满足以下条件：

1. 1<=i,j,k<=n
2. a[i]<=b[j]和b[j]>=c[k]

为了最大化计数，请对a、b和c数组的任意排列执行此操作。

解题思路

首先，我们需要观察限制条件。 可以发现第二个限制条件可以被分成两个不同的条件：

1. a[i]<=b[j]
2. b[j]>=c[k]

考虑仅固定b[j]，如何计算这样的三元组的数量。 我们可以对每个固定的b[j]计算i和k的取值。 对于i和k的每个元素，a[i]<=b[j]，b[j]>=c[k]。 如果我们将a和c数组升序排序，则我们可以使用指针来计算这些值。

具体地说，考虑到指针i和j在a和b数组中从前往后移动，而指针k在c数组中从后往前移动。 当a[i]<=b[j]时，我们可以将i向右移动，因为我们可以保证(i, j, k)是合法的三元组。 同样，当b[j]>=c[k]时，我们可以将k向左移动。

然后我们来思考如何最大化计数。 对于每个固定的b[j]，我们需要找到最大的i和k的数量。 为了最大化计数，我们需要将数组a和b升序排序，将数组c降序排序。 然后对于a中的每个元素i和c中的每个元素k，查找最大的b[j]，使得这个三元组仍然有效（即仍然满足a[i]<=b[j]和b[j]>=c[k]）。 我们可以在b数组中使用二进制搜索来找到这样的元素。 一旦找到这样的元素，我们可以将计数器增加到中间数字的数量（即数目），并将指针i和k向右和左移动。

最后，对于所有可能的排列，我们都需要重复上述过程，直到找到最大的增量。 由于数组a、b和c都是长度为n的三个数组，因此此过程的时间复杂度为O(n^2logn)。

代码实现

def countMaxTripletIncrements(a: List[int], b: List[int], c: List[int]) -> int:
    n = len(a)
    a.sort()
    b.sort()
    c.sort(reverse=True)

    res = 0
    i, k = 0, 0

    for j in range(n):
        while i < n and a[i] <= b[j]:
            i += 1
        while k < n and c[k] >= b[j]:
            k += 1
        res += i * (n - k)

    return res

该算法的时间复杂度为O(n^2logn)，其中n是数组a、b和c的长度。