门| GATE-CS-2004 |问题 26

这是一个关于门电路的问题，考察了程序员对计算机硬件电路的理解和应用能力。

问题描述

在一个门电路的实现中，有以下3种门：

1. AND 门
2. OR 门
3. NOT 门

这3种门的输入输出如下：

|门|输入1|输入2|输出| |---|---|---|---| |AND|0|0|0| | |0|1|0| | |1|0|0| | |1|1|1| |OR|0|0|0| | |0|1|1| | |1|0|1| | |1|1|1| |NOT|0| |1| | |1| |0|

现在，我们要通过这3种门实现以下三个函数：

$$f_1(x,y,z) = \sum(1,2,4,7)$$

$$f_2(x,y,z) = \sum(0,1,2,3,4,5,7)$$

$$f_3(x,y,z) = \prod(0,1,3,7)$$

其中，$\sum$ 表示取和，$\prod$ 表示取积。

请编写一个程序，对于任意给定 $f_i$，输出其对应门电路的实现方案。

解题思路

对于这个问题，我们需要根据给定的表格，考虑如何使用 AND、OR 和 NOT 门实现给定的函数。

在实现布尔逻辑函数时，我们通常会使用 Karnaugh map（卡诺图）法来进行求解。在求解时，我们可以通过将布尔表达式写成极小项（Minterm）或极大项（Maxterm）的形式，将问题转化为布尔代数的问题，然后使用卡诺图进行化简。

以 $f_1(x,y,z) = \sum(1,2,4,7)$ 为例：

通过卡诺图化简，可以得到如下的极小项和最简式：

$f_1(x,y,z) = \sum(1,2,4,7) = \bar{x} \bar{y} z + \bar{x} y \bar{z} + x \bar{y} \bar{z} + xyz$

这个式子对应的门电路如下：

        +---+       +---+       +---+
   x ---|NOT|-------|AND|-------|   |
        +---+       |   |       | OR|--- f1
             +---+  |   |   +---|   |
        y ---|NOT|--|AND|---|   |   |
             +---+  |   |   +---+---+
                  z ---+

可以看到，这个门电路由 1 个 NOT 门，2 个 AND 门和 1 个 OR 门组成。

同样，对于 $f_2$：$f_2(x,y,z) = \sum(0,1,2,3,4,5,7)$，我们可以得到如下的门电路实现：

        +---+       +---+       +---+       +---+
        |   |       |   |       |   |   +---| OR|--- f2
   x ---|   |-------|NOT|-------|AND|---|   |
        |   |       |   |       |   |   |   |
        +---+       +---+       +---+   |   |
                                         |   |
        +---+       +---+       +---+   |   |
        |   |       |   |       |   |   |   |
   y ---|   |-------|AND|-------|NOT|---|   |
        |   |       |   |       |   |   |   |
        +---+       +---+       +---+   |   |
                                         |   |
        +---+       +---+       +---+   |   |
        |   |       |   |       |   |   |   |
   z ---|   |-------|OR |-------|NOT|---+---+
        |   |       |   |       |   |
        +---+       +---+       +---+

对于 $f_3$：$f_3(x,y,z) = \prod(0,1,3,7)$，这是一个“零故障（zero-defect）”的实现，使用 NOR 门即可：

        +-----+
        |NOR  |
        +--+--+
           |
        +--+--+
   x ---|NOR |
        +--+--+
           |
        +--+--+
   y ---|NOR |
        +--+--+
           |
        +--+--+
   z ---|NOR |
        +-----+

总结

本题考察了程序员对计算机硬件电路的理解和应用能力。当面对类似的问题时，我们可以使用布尔代数的知识和卡诺图法来进行求解，从而得到相应的门电路实现。