GATE CS 2016 Sec 5 – 时空复杂度

在计算机科学中，算法的效率往往用时间复杂度和空间复杂度来衡量。时间复杂度是指算法在处理问题时所需的时间量级；空间复杂度是指算法在执行时所需的内存空间量级。本文将简要介绍GATE CS 2016 Sec 5 – 时空复杂度。

时间复杂度

时间复杂度是指算法在处理问题时所需的时间量级。通常表示为大O符号，表示算法运行时间的渐进上界（或最坏情况）。下面是常见时间复杂度的列表：

• O(1)：常数级别，算法的运行时间与输入大小无关；
• O(log n)：对数级别，一般是二分查找等分治算法的时间复杂度；
• O(n)：线性级别，常见的算法有遍历和选择排序等；
• O(n log n)：快速排序和归并排序等分治算法的时间复杂度；
• O(n^2)：平方级别，常见算法有冒泡排序和选择排序等；
• O(n^3)：立方级别，一般是矩阵乘法等算法的时间复杂度；
• O(2^n)：指数级别，一般是指NP问题等无法在多项式时间内求解的问题。

空间复杂度

空间复杂度是指算法在执行时所需的内存空间量级。与时间复杂度类似，通常表示为大O符号，表示算法空间的渐进上界。在实际应用中，空间复杂度也需要考虑。下面是一些常见的空间复杂度：

• O(1)：常数级别，空间复杂度与输入大小无关；
• O(log n)：对数级别，一般是递归算法的空间复杂度；
• O(n)：线性级别，一般是数组和链表等数据结构所需要的空间复杂度；
• O(n log n)：快速排序和归并排序等分治算法的空间复杂度；
• O(n^2)：平方级别，一般是矩阵或者其他二维数组空间复杂度的上界。

例子

下面我们来看一个例子，分别计算递归求斐波那契数列的时间和空间复杂度。

def fib(n):
    if n <= 1:
        return n
    else:
        return fib(n-1) + fib(n-2)

我们可以使用递归树来理解时间复杂度。对于问题规模为n的子问题，我们需要求解两个问题规模为n-1和n-2的子问题，那么我们的递归树会有2^(n-1)个叶子节点。因此时间复杂度为O(2^n)。而空间复杂度则取决于函数调用栈的深度，也就是递归树的深度。对于每一个调用，我们需要将当前的状态压入栈中，那么空间复杂度也是O(2^n)。

总结

时间复杂度和空间复杂度都是衡量算法的效率的指标，需要在实际应用中综合考虑。在学习算法的过程中，了解时间复杂度和空间复杂度的概念可以帮助我们更深入的理解算法，并且能够在实际应用中对算法进行调整优化。