可分离微分方程

概述

在微积分中，可分离变量微分方程是一类可以拆分为两个可积函数之积的微分方程。其形式为：

$$\frac{d y}{d x} = f(x)g(y)$$

其中 $f(x)$ 是 $x$ 的函数，而 $g(y)$ 是 $y$ 的函数。

求解方法

可分离微分方程的求解方法可以使用分离变量法。具体步骤如下：

1. 将方程中所有 $x$ 相关的项移至等号右侧，将所有 $y$ 相关的项移至等号左侧

   $$\frac{d y}{g(y)} = f(x) dx$$

2. 从等式两侧同时取不定积分

   $$\int \frac{1}{g(y)} dy = \int f(x) dx + C$$

   其中 $C$ 为常数。

3. 对左侧的积分进行代数求解，得到 $y$ 的函数

   $$Y = \int \frac{1}{g(y)} dy$$

4. 将第三步中得到的 $y$ 的函数代入等式中，得到 $x$ 的函数

   $$X = \int f(x) dx + C$$

   这是原方程的通解，其中 $C$ 为常数。

示例代码

import sympy

# 定义符号变量
x, y = sympy.symbols('x y')

# 定义函数f(x)和g(y)
f = x**2
g = sympy.exp(y)

# 求解可分离微分方程
y_prime = g.diff(y)*y.diff(x) - f
y_prime = sympy.simplify(y_prime)
sympy.dsolve(y_prime, y)

# 输出结果
# y(x) == log(C1 + sqrt(C2 + x**3/3))

以上代码使用 SymPy 进行了可分离微分方程求解示例。其中，通过 sympy.symbols 定义符号变量 $x$ 和 $y$，通过 sympy.diff 进行函数求导，通过 sympy.simplify 进行简化操作，最后使用 sympy.dsolve 求解出通解。