微分方程

微分方程在物理，化学，生物学和经济学等各种应用中都起作用。微分方程是一种数学方程，它将某些函数与其导数联系起来。在应用中，函数通常表示物理量，导数表示其变化率，方程式定义了两者之间的关系。让我们正式定义什么是微分方程?

微分方程是涉及因变量相对于自变量的导数的方程。例如

$\frac{d^{2}y}{dx} + x = 0$

在此，x是自变量，y是因变量。

仅包含一个自变量的导数的微分方程称为常微分方程。也存在一些微分方程，这些微分方程对一个以上的自变量具有导数，它们被称为偏微分方程。

例子： $2\frac{d^{2}y}{dx} + 3\frac{dy}{dx} + 1 = 0$一个常微分方程。

Note: Following notations are also used for denoting higher order derivatives. 

• $y' = \frac{dy}{dx} = y_{1}$
• $y''' = \frac{d^{3}y}{dx} = y_{3}$

微分方程的阶数

微分方程的阶数是方程中存在的导数的最高阶。

例如：

• $x + \frac{dy}{dx} = 3$ 。它的阶数为1。
• $\frac{d^{2}y}{dx} + sinxcosx = 10$ 。它的阶数为2。
• $\frac{d^{3}y}{dx} + \frac{d^{2}y}{dx} + x^{3} + 5 = 0$ 。它的阶数为3。

微分方程的度

微分方程的阶数(当它是导数的多项式方程时)是给定微分方程所涉及的最高阶导数的最高幂(正整数指数)。

例子： $(\frac{dy}{dx})^{2} +\frac{d^{2}y}{dx} + 5 = 0$ 。在该方程中，最高阶导数的幂为1。因此，微分方程的阶次为1。

Note: It is not always necessary that degree and order of a differential equation are equal, but both of them must be positive. 

微分方程的一般和特殊解

考虑一个微分方程，

$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + y = 0$

该微分方程的解是一个函数$\phi$可以满足要求，即用函数\ phi替换未知的“ y”。 LHS等于RHS

曲线$y = \phi(x)$称为微分方程的解。假设这个函数是

$y = \phi(x) = a cos(x + b)$

当将此函数及其导数替换为微分方程式时，该方程式已满足。

假设我们给“ a”和“ b”提供了一些值，其中a = 2和b = -1。然后，等式变为

$y = \phi_{1}(x) = 2 cos(x -1 )$

这称为特殊解，而由a和b的任意值组成的解称为通用解。

给出一般解的微分方程的形成

让我们看一下从一般解决方案中形成微分方程的步骤/过程：

1. 如果一组曲线仅取决于一个参数，则用一个方程式表示，该方程式的形式为F(x，y，a)=0。将该方程式与x进行微分得到的方程式为y’， y，x和a可以表示为g(x，a，y，y’)=0。现在，可以通过从两个方程中消除参数“ a”来形成微分方程。
2. 如果曲线族取决于两个参数“ a”和“ b”，则用可以用F(x，y，a，b)= 0形式表示的方程表示。在y’，y，x，a和b中给出了一个方程，可以表示为g(x，a，b，y，y’)=0。我们不能从这两个方程中消除“ a”和“ b” 。因此，我们将再次对方程进行微分以获得g(x，a，b，y，y’，y“)=0。现在，可以通过从所有参数中消除参数“ a”和“ b”来形成微分方程。这些方程式中的三个。

让我们通过示例查看这些步骤，

问题1：形成表示曲线族y = mx的微分方程，其中m是任意常数。

解决方案：

We have y = mx, 

Differentiating it both sides,

$\\ \frac{dy}{dx} = m,$

Substituting the value of m in the original equation, 

$y = \frac{dy}{dx}x \\ y - \frac{dy}{dx}x = 0$

问题2：形成表示椭圆族的微分方程，椭圆在x轴上以原点为中心。

解决方案：

Equation of ellipses with foci on x-axis and centre at origin,

 $\\ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

Differentiating equations w.r.t x,

$\\ \frac{2x}{a^2} + \frac{2ydy}{b^2dx } = 0 \\ \frac{y}{x}(\frac{dy}{dx}) = \frac{-b^{2}}{a^{2}}$

Differentiating both sides again we get,

$\\ xy\frac{d^2y}{dx^2} + x(\frac{dy}{dx})^2 -y\frac{dy}{dx} = 0$

This is the required differential equation. 

齐次微分方程

甲函数f(x，y)被称为度n如果一个齐次函数，

F(ax，ay)=一个ⁿ F(x，y)

对于任何常数“ a”。

形式的微分方程$\frac{dy}{dx} = F(x,y)$被称为均相如果F(X，Y)为0°的均匀的函数。

问题：检查微分方程是否， $(x-y)\frac{dy}{dx} = x + 2y$是同质的。

解决方案：

$\frac{dy}{dx} = \frac{x + 2y}{x - y}$

Let,

$\\ F(x,y) = \frac{x + 2y}{x-y}$

Let a be a constant,

$\\ F(ax,ay) = \frac{ax + 2ay}{ax - ay}\\ = \frac{x + 2y}{x - y}a^{0}\\ = a^{0}F(x,y)$

Since this function is homogenous, the diferential equation is also homogenous.

可变可分微分方程

考虑以下形式的一阶微分方程，

$\frac{dy}{dx} = F(x,y)$

如果F(x，y)可以表示为h(x)g(y)，其中h(x)是x的函数，而g(x)是y的函数。然后将该方程称为可变可分类型的微分方程。微分方程的形式为

$\frac{dy}{dx} = h(x)g(x)$

问题：找到微分方程的一般解，

$\frac{dy}{dx} = \frac{x+1}{2-y} (y \ne 2)$

解决方案：

$\frac{dy}{dx} = \frac{x+1}{2-y} \\ (2 - y)dy = (x +1)dx \\ \int (2 - y)dy = \int (x + 1)dx \\ 2y - \frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + x + C \\ 4y - y^2 -x^2 -4x = C$

线性微分方程的解

线性微分方程是一种微分方程，可以使它看起来像这样的形式：

$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$

其中P(x)和Q(x)是x的函数。使用一种特殊的方法可以解决此问题：

• 制作x的两个新函数，分别命名为u和v，并说y = uv。
• 然后求解以找到u，然后找到v。

分步过程：

步骤1：代入y = uv，然后

$\frac{dy}{dx} = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}$

进入，

$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$

步骤2：现在，应该考虑具有“ v”的零件。

步骤3：将v项设为零(这将在u和x中给出一个微分方程，可以在下一步中求解)将v项设为零(这将在u和x中得到一个微分方程，可以将其求解)在下一步中)

步骤4：求解“ u”，然后将其放回方程中以找到“ v”。

步骤5：最后，y = uv是解决方案。

让我们看一个例子，以更好地理解它，

问题：解决$\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = 1$

解决方案：

This is a linear equation. Let’s bring it in the form specified above. 

$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$

Here, P(x) = -1/x and Q(x) = 1. 

So, let’s follow the steps given above. Substitute y = uv in the equation. Then the equation becomes, 

$u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx} - \frac{uv}{x} = 1 \\ = u\frac{dv}{dx} + v(\frac{du}{dx} - \frac{u}{x}) = 1$

Put the parts involving “v” equal to zero. 

$\frac{du}{dx} - \frac{u}{x} = 0\\ = \frac{du}{u} = \frac{dx}{x} \\ = \int \frac{du}{u} = \int \frac{dx}{x} \\ = ln(u) = ln(x) + C \\ = ln(u) = ln(x) + ln(k) \\ = ln(u) = ln(xk) \\ = u = xk$

Substituting “u” back into the equation. 

$kx\frac{dv}{dx} = 1$

Now, let’s solve this to find “v”. 

$kx\frac{dv}{dx} = 1 \\ = dv = \frac{1}{k}\frac{dx}{x}\\ = \int dv = \int \frac{1}{k}\frac{dx}{x} \\ = v = \frac{ln(x)}{k} + ln(c) \\ = v= \frac{ln(xc)}{k}$

Substitute both “u” and “v” into the equations y = uv. 

$y = uv \\ = kx \frac{1}{k}ln(cx)\\ = xln(cx)$

So, this is the solution for this differential equation. 

写一个微分方程

现在让我们继续对微分方程建模。建模是编写描述物理情况的微分方程的过程。我们将看到如何对一阶微分方程建模，对更复杂的阶次建模超出了本研究的范围。

示例：储蓄账户模型

Write x(t) for the number of dollars in the account at time t. It accrues interest at an interest rate r. The interest rate has units of percent/year. The more money in the account the more interest you earn. At the end of an interest period of Δt years (e.g. Δt = 1/12, or Δt = 1/365) the bank adds “r.x(t)·Δt” dollars to your account. This means the change Δx in your account is

Δx = r.x(t).Δt

r has units of (years)⁻¹. Mathematicians and some bankers like to take things to the limit. Rewrite our equation as $\frac{Δx}{\Delta t} = rx(t)$, and suppose that the interest period is made to get smaller and smaller. In the limit as Δt → 0, we get the differential equation 

$\dot{x} = rx$

Now suppose we make contributions to this savings account. We’ll record this by giving the rate of savings, q. This rate has units dollars per year, so if you contribute every month then the monthly payments will be q Δt with Δt = 1/12. This payment also adds to your account, so, when we divide by Δt and take the limit, we get 

$\dot{x} = rx + q.$

This is a linear differential equation.