如何求解微分方程？

具有自变量以及因变量和因变量相对于自变量的导数的方程称为微分方程。包含单个自变量的微分方程称为常微分方程，具有多个自变量及其偏导数的微分方程称为偏微分方程。

$\frac{dy}{dx} + x = 0.$在这个等式中，X 是自变量，Y 是 x 的因变量，其中因变量与自变量 X 的导数。

微分方程的形式

1. xdy + ydx = 0
2. $\frac{d^2y}{dx^2} + 4y = 0$
3. $y = x\frac{dy}{dx } + \frac{a}{\frac{dy}{dx}}$
4. $\frac{dy}{dx} + cos(\frac{dy}{dx}) = 0$

求解微分方程

求解微分方程有不同的方法。它们是变量分离方法，齐次微分方程，线性微分方程等。让我们详细学习每种方法，

按变量分离法

在等式中，如果有可能在一侧得到所有相同的函数，则一侧的 x 和 dx 的均值函数对于另一侧的 y 和 dy 相同，那么我们可以说变量的分离。

• 类型 1

Let $\frac{dy}{dx}$ = f(x)

Now separate all function of x and dx on one side,

dy = f(x)dx

Now, integrating both sides,

∫dy =∫f(x)dx

y = ∫f(x)

Which is the required solution, where c is an arbitrary constant.

• 类型 2

$\frac{dy}{dx} = f(x)g(x)$

Separate same functions on one side,

$\int\frac{dy}{g(y)} =\int{f(x) dx} +c$

Where c is arbitrary constant.  

通过齐次微分方程

如果 x 和 y 的微分方程可以表示为$\frac{dy}{dx} = \frac{f_1(x,y)}{f_2(x,y)}$ , 其中 f ₁ (x, y) 和 f ₂ (x, y) 在 x 和 y 上的度数相同。因此，这两个函数在 x 和 y 的度数上是齐次的。

求解微分方程，

1. 设 y = vx。
2. 然后$\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$
3. 将变量 v 和 x 分开，然后积分。
4. 用 y = vx 代替 v。

获得了所需的解决方案。

通过线性微分方程

如果因变量及其微分系数仅出现在一阶且不相乘，则称微分方程是线性的。

$\frac{dy}{dx} + Py=Q$ ，其中 P 和 Q 只是 x 的常数或函数，称为一阶微分方程。相似地， $\frac{dx}{dy}+Px =Q$ ，其中 P 和 Q 只是 y 的常数或函数，称为一阶线性微分方程。

工作规则

让线性微分方程$\frac{dy}{dx}$ + 派 = Q

1. 从给定的方程中识别 P 和 Q
2. 求积分因子 (IF) 即 e ^∫pdx
3. 解由 y(IF) =∫ Q(IF)dx + c 给出

• 特例：伯努利方程

形式的方程$\frac{dy}{dx} +Py = Qyn,$其中 P 和 Q 仅是 x 的函数，并且 n ≠ 0, 1 被称为伯努利微分方程。通过将两边除以 y _n ，很容易将方程简化为如下线性形式，

y – n$\frac{dy}{dx}$ + Py^{1 – n} = Q

let y^{1 – n} = z

z = (1 – n)y^-n$\frac{dy}{dx} = \frac{dz}{dx}$

Given equation becomes$\frac{dz}{dx}$ + (1 – n)Q

Which is linear equations in z.

Here, If = e∫^(1-n)Pdx

Required solution is, 

z(IF) = ∫(1 – n) Q e^{∫(1 – n)Pdx}

示例问题

问题1：求解微分方程$\frac{dy}{dx} = \frac{y-x}{x+y}$

解决方案：

$\frac{dy}{dx} = \frac{y-x}{x+y}$⇢ (1)

Which is a homogeneous differential equation as function y – x and x + y is of degree of 1.

Put y = vx ⇢ (2)

Differentiate eq(2), we get

$\frac{dy}{dx} = v+x\frac{dv}{dx}$ ⇢ (3)

From eq. (3) to eq. (1), we have

$v+x\frac{dv}{dx} = \frac{vx-x}{x+vx} = \frac{v-1}{1+v} x\frac{dv}{dx} =\frac{v-1}{1+v} -v = \frac{v-1-v^2-v}{v+1} = -\frac{1+v^2}{1+v} \frac{1+v}{1+v^2} dv=-\frac{dx}{x} ∫ \frac{1+v}{1+v^2} dv=-∫\frac{dx}{x} ∫\frac{1}{1+v^2} + \frac{1}{2} ∫\frac{2v}{1+v^2} =- ∫\frac{dx}{x}$

After further classification, we get

$tan^-1\frac{y}{x} + log(x^2+y^2) =c$

问题2：解决$(x tan \frac{y}{x}-ysec^2 \frac{y}{x})dx-xsec^{2} \frac{y}{x}dy=0$

解决方案：

$(x tan \frac{y}{x}-ysec^2 \frac{y}{x})dx-xsec^2 \frac{y}{x}dy=0$⇢ (1)

After differentiating, we can write above equations as,

$\frac{dy}{dx} = (\frac{y}{x}sec^2\frac{y}{x}-tan\frac{y}{x})cos^2\frac{y}{x}$

Above equations is  homogeneous. Putting y = vx

$v+x\frac{dv}{dx}=(vsec^2v-tanv)cos^2v$

x dv/dx = v – tanv cos²v – v

Separating the variables$\frac{sec^2v}{tanv}dv=-dx/x$

Integrating both sides log tanv = -logx + logc

xtanv = C

From y = vx, we get

xtany/x = C

问题 3：求解微分方程$\frac{dy}{dx}$ +y = sinx

解决方案：

$\frac{dy}{dx}$+ y = sinx (Given)

By comparing it with $\frac{dy}{dx}$ + Py = Q, we get: p = 1 and Q = sinx

IF =∫ e^(pdx) = e^x

As we know, y(IF) = ∫Q(IF)dx + c

ye^x =  ∫ sinx e^x

After integeration we get

ye^x = $\frac{e^x}{2} (sinx-cosx) +c$

 y = 1/2 (sinx-cosx) + c  

问题 4：解决， $x(\frac{dy}{dx}) + y =y^{2logx}$

解决方案：

The given equation can be written as, 

$\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x} = \frac{y^2}{x}logx$ (Dividing by x)

$\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=\frac{y^2}{x}logx$

Now, divide thought y²

$\frac{dy}{dx}\frac{1}{y^2}+\frac{1}{xy}=\frac{logx}{x}$⇢ (A)

Put 1/y = v ⇢ (1)

After differentiating equation (1), we get

$(\frac{-1}{y^2})\frac{dy}{dx}=(\frac{dv}{dx})$

By substitution equation (A)

$\frac{dv}{dx}-\frac{v}{x}=-\frac{logx}{x}$

This is linear with v as the dependent variables.

Here, P=$-\frac{1}{x}$, Q=$-\frac{logx}{x}$

IF = e^∫Pdx =e^∫(-1/x)dx =e^-logx 1/x   

Hence, 

1/xy = (1\x)logx + 1\x + C

问题 5 ：求解微分方程： $\frac{dy}{dx} = (e^x + 1)y$

解决方案：

dy/dx = (e^x + 1)y ⇢ (given)

dy/y = (e^x + 1) dx

Integrating both sides,

∫dy/y = ∫(e^x + 1) dx

log|y| =e^x + x + c

问题 6 ：求解以下微分方程，

• dy/y = ytan2x
• dy/dx = (1 + x ² )(1 + y ² )

解决方案：

• dy/y = ytan2x ⇢ (given)

∫1/ydy = tan2x . dx ⇢ (separating variables)

Integrating both sides,

∫1/ydy = ∫tan2x dx

log|y| = 1/2log|sec2x| + c

• $\frac{dy}{dx}$ = (1 + x²)(1 + y²) ⇢ (given)

Integrating both sides, we get;

$∫\frac{dy}{1+y^2}$ = ∫(1 + x²)dx

tan^-1y = x + x³/3 + c,