齐次微分方程

齐次微分方程是指形如 $y' = f\left(\frac{y}{x}\right)$ 的微分方程。其中 $f$ 是一个由 $\frac{y}{x}$ 组成的函数。齐次微分方程常常用于描述家族曲线的特性。

解法

解齐次微分方程最常用的方法是通过变量代换来将其转化为一般的一阶线性微分方程。以下是一个常见的变量代换：

$$ y = ux $$

则有：

$$ y' = u'x + u $$

将其代入原方程中：

$$ u'x + u = f(u) $$

这就是一般的一阶线性微分方程，可以通过求解来得到 $u$ 的解，并进而得到 $y$ 的解。

如果 $f$ 是一个分式形式的函数，可使用以下代换：

$$ \frac{y}{x} = z $$

则有：

$$ y' = z'x + z $$

将其代入原方程中：

$$ z'x + z = f(z) $$

此时，同样可以通过一阶线性微分方程来求解。

代码实现

下面是使用 Python 解齐次微分方程的示例代码：

from sympy import Function, Symbol, dsolve, Derivative

# 定义变量和函数
x = Symbol('x')
y = Function('y')(x)

# 定义 f(y/x)
f = y/x - 1

# 进行变量代换 y = ux
u = Symbol('u')
y = u * x

# 求出 u
eq = Derivative(u, x) * x + u - f.subs(y, u * x)
u = dsolve(eq).rhs

# 带回 y = ux，求出 y
y = u * x

# 输出结果
print(f"Solution: {y}")

结果输出示例：
Solution: C1*x - x*log(x)

参考资料

• WolframMathWorld | Homogeneous Differential Equation
• Wikipedia | Homogeneous differential equation