资质|算术能力3|问题4

此题涉及到算术能力和编程实现，适合提高编程思维和逻辑能力。以下是问题描述和解决思路。

问题描述

给定一个长度为n（1<=n<=10^5）的整数数组a，数组元素为1~n的正整数。请用O(n)的时间复杂度查找数组中重复出现的数字。

解决思路

算术分析

首先如果有重复的数字，那么数组中的元素肯定在1~n之间。假设数组中没有重复的数字，那么数组中的数字没有被选中的数字构成了一个n个数的排列。

我们可以对1~n的数字进行加减，将a中的数字映射到新的1~n的数字上：

b[i] = a[i] - i

如果原数组a中有重复数字，那么经过上述转换后，一定会存在i，j（i<j），使得：

b[i] = a[i] - i = a[j] - j = b[j]

即:

a[i] - i = a[j] - j

可以变形得到：

a[i] - a[j] = i - j

也就是说，如果a中存在重复数字，那么就存在一个i，j（i<j），满足i~j内任意两个数字的差都相等。

编程实现

根据上述算法分析，我们可以在O(n)的时间复杂度内实现该算法。

def find_duplicate_in_array(nums):
    n = len(nums)
    b = [0] * n
    for i in range(n):
        b[nums[i]-1] += 1
    for i in range(n):
        if b[i] > 1:
            return i+1
    return -1

上述代码实现了一种哈希解法，首先建立一个数组b，遍历整个数组nums，对于每个出现过的元素nums[i]，将其个数累加到b[nums[i]-1]中。最后再遍历一次b数组，找到出现次数大于1的元素，即为重复的数字。

该算法的时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(n)。

结论

通过上述算法分析和程序实现，我们成功解决了给定问题。同时也提高了算数分析和编程实现的能力。