资质|算术能力2 |问题4

介绍

本题是一个测试算术能力的问题，需要求解一个数列的值。给定一个正整数n，我们定义一个数列a如下： $$ a_{1} = 1 \ a_{i} = a_{i-1} + \lfloor{n \over i}\rfloor \quad (i = 2, 3, \cdots, n) $$

需要编写一个函数，求解出数列a的第n个值。因为n可能非常大，所以要注意算法的时间复杂度。

实现思路

我们可以考虑暴力求解，对于每个a[i], 都需要计算一遍 $ \lfloor{n \over i}\rfloor $，时间复杂度为 $O(n^2)$。

但是如果我们仔细观察数列 a 的性质，会发现一些规律:

1. $a_1 = 1$

2. 对于 i > 1 的 a[i] 来说，a[i] 的值就是 i-1 到 1 的 a[j] 的和再加 1, 即 $a_i = a_{i-1} + \sum_{j=1}^{i-1}a_j +1$

3. 数列 a 是一个递增数列

利用这些性质，我们可以采用动态规划的算法，先预处理出数列 a 的前 n 项，时间复杂度为 O(n^2), 然后我们就可以在常数时间内查询某一项的值了。时间复杂度为 O(1)。

代码实现

代码是基于 Python 3 实现的，当然也可以用其他的语言实现。下面是代码片段：

def compute_a(n: int) -> int:
    # 预处理数列a的前n项
    a = [0] * (n+1)
    a[1] = 1
    for i in range(2, n+1):
        s = 1
        for j in range(1, i):
            s += a[j]
        a[i] = a[i-1] + s

    # 返回第n项
    return a[n]

算法分析

该算法的时间复杂度为 O(n^2)，空间复杂度为 O(n)，而查询第n项的时间复杂度为 O(1)。

总结

本题通过预处理数列a的前n项，使得查询第n项的时间复杂度从原来的O(n)降为常数级别。同时，通过观察数列a的性质，我们可以发现数列a有一些规律，这有助于找到优秀的算法。

因为算法的时间复杂度和空间复杂度都比较高，所以在实际应用中可能需要根据具体情况进行优化。