最后一分钟的笔记——计算理论

简介

计算理论是计算机科学的一门基础课程，它涵盖了计算机和计算的许多重要概念和原理。这门课程通常包括图灵机、可计算性和复杂性等主题，是所有计算机科学学生必修的课程之一。

图灵机

图灵机是一种典型的抽象计算模型，它由一个无穷长的纸带和一个有限状态的控制器组成。纸带可以写入和读取符号，而控制器可以根据当前读取的符号和自身的状态来进行决策。图灵机可以模拟任何计算机算法，并且它是可计算模型的“黄金标准”。

图灵机的组成部分

• 一个无限长的纸带，纸带可以被看作一个巨大的数组，每个位置可以存储一个符号。
• 一个读写头，读写头可以移动到纸带的任何位置，并且可以读取和写入符号。
• 一个有限状态的控制器，控制器可以根据当前读取的符号和自身的状态来进行决策。

图灵机的运行方式

图灵机按照以下步骤运行：

1. 将输入数据写入纸带上。
2. 根据初始条件设置控制器的状态。
3. 读取当前位置的符号，根据符号和当前状态进行计算。
4. 写入新的符号，移动读写头的位置，改变控制器的状态。
5. 不断重复步骤3和步骤4，直到控制器进入停机状态。

可计算性

可计算性是指通过某种算法或计算过程来判断一个问题是否有解决方案。计算理论中的可计算性问题被分为三类：

可计算问题

可计算问题是指可以通过算法得到解决方案的问题。比如求两个数的和、找到一个列表中的最大值等。

不可计算问题

不可计算问题是指没有任何算法可以解决的问题。比如在所有偶数中找到一个素数、判断任何一个程序是否存在漏洞等。

部分可计算问题

部分可计算问题是指只有部分情况下可以获得解决方案，但是在其他情况下无法得到解决方案。比如在某些条件下可以求出一个方程的根，但是在其他情况下无法得到解决方案。

复杂性

复杂性是指在某种计算模型下解决一个问题需要花费的时间或空间资源。计算理论中的复杂性问题通常被分为两类：

P类问题

P类问题是指可以在多项式时间内得到解决方案的问题。多项式时间是指问题规模的多项式函数。

NP类问题

NP类问题是指可以在多项式时间内验证一个解决方案的问题。验证一个解决方案的时间可以是多项式时间，但是解决问题的时间可能不是多项式时间。

总结

计算理论是计算机科学的一门重要课程，它涵盖了计算机和计算的许多重要概念和原理。图灵机、可计算性和复杂性是计算理论中的三个主题，它们是计算机科学中最基本、最重要的知识点之一。