最后一分钟笔记——离散数学 - 芒果文档

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📜 最后一分钟笔记——离散数学

📅 最后修改于: 2021-09-27 22:54:30 🧑 作者: Mango

请参阅此处所有主题的最后一分钟笔记。

命题逻辑

蕴涵(→) ：对于任何两个命题 p 和 q，语句“if p then q”称为蕴涵，用 p → q 表示。
$\begin{tabular}{ |c|c|c| } \hline p & q & p\rightarrow q\\ \hline \hline T & T & T\\ \hline T & F & F\\ \hline F & T & T\\ \hline F & F & T\\ \hline \end{tabular}$
当且仅当(↔) ：对于任何两个命题 p 和 q，“p 当且仅当(iff)q”被称为双条件，用 p ↔ q 表示。
$\begin{tabular}{ |c|c|c| } \hline p & q & p\leftrightarrow q\\ \hline \hline T & T & T\\ \hline T & F & F\\ \hline F & T & F\\ \hline F & F & T\\ \hline \end{tabular}$

德摩根定律：
- $\neg (p\wedge q) \equiv \neg p \vee \neg q$
- $\neg (p\vee q) \equiv \neg p \wedge \neg q$
特殊条件语句

一、含义： $p\rightarrow q$
2. Converse ：命题的逆命题 $p\rightarrow q$ 是 $q\rightarrow p$
3. Contrapositive ：命题的对置 $p\rightarrow q$ 是 $\neg q\rightarrow \neg p$
4.逆：命题的逆 $p\rightarrow q$ 是 $\neg p\rightarrow \neg q$

基于真值的命题类型
1.重言式——一个始终为真的命题，称为重言式。
2.矛盾——一个总是错误的命题称为矛盾。
3.偶然性——既不是同义反复也不是矛盾的命题称为偶然性。

有两个非常重要的等价物涉及量词

1. $\forall x(P(x)\wedge Q(x)) \equiv \forall xP(x) \wedge \forall xQ(x)$ 2. $\exists x(P(x)\vee Q(x)) \equiv \exists xP(x) \vee \exists xQ(x)$

推理规则
$\begin{tabular}{||c||c||c||} \hline Rule of Inference & Tautology & Name\\ \hline \rule{0pt}{8ex} \shortstack[l]{p \\ p\rightarrow q \\ \rule{1cm}{0.5pt}\\ \therefore q}& (p\wedge (p\rightarrow q)) \rightarrow q & Modus Ponens \\ \hline \rule{0pt}{8ex} \shortstack[l]{\neg q \\ p\rightarrow q \\ \rule{1cm}{0.5pt}\\ \therefore \neg p}& (\neg q \wedge (p\rightarrow q)) \rightarrow \neg p & Modus Tollens \\ \hline \rule{0pt}{8ex} \shortstack[l]{p\rightarrow q \\ q\rightarrow r \\ \rule{1.3cm}{0.5pt}\\ \therefore p \rightarrow r}& ((p\rightarrow q) \wedge (q\rightarrow r)) \rightarrow (p\rightarrow r) & Hypothetical syllogism \\ \hline \rule{0pt}{8ex} \shortstack[l]{ \neg p \\ p\vee q \\ \rule{0.8cm}{0.5pt}\\ \therefore q} & (\neg p \wedge (p\vee q)) \rightarrow q & Disjunctive Syllogism \\ \hline \rule{0pt}{8ex} \shortstack[l]{p \\ \rule{1.5cm}{0.5pt} \\ \therefore (p \vee q)}& p\rightarrow (p\vee q) & Addition \\ \hline \rule{0pt}{8ex} \shortstack[l]{ (p\wedge q)\rightarrow r \\ \rule{2.3cm}{0.5pt}\\ \therefore p\rightarrow (q\rightarrow r)} & ((p\wedge q)\rightarrow r) \rightarrow (p\rightarrow (q\rightarrow r)) & Exportation\\ \hline \rule{0pt}{8ex} \shortstack[l]{p\vee q\\\neg p\vee r \\ \rule{1.2cm}{0.5pt} \\ \therefore q\vee r}& ((p\vee q) \wedge(\neg p\vee r)) \rightarrow q\vee r & Resolution \\ \hline \end{tabular}$

组合学

排列：一组不同对象的排列是这些对象的有序排列。

$\begin{flalign*} P(n, r) &= n * (n-1) * ... * (n-r+1)\\ &= \frac{n * (n-1) * ... * (n-r+1) * (n-r) *...* 2 * 1}{(n-r) * (n-r-1) * .... * 2 * 1}\\ &= \frac{n!}{(n-r)!} \end{flalign*}$

组合：一组不同对象的组合只是从特定大小的集合中选择特定数量元素的方式数量的计数。元素的顺序在组合中无关紧要。
$\therefore P(n, r) = C(n, r) * P(r, r)\\$
这给了我们-

$\begin{flalign*} C(n, r) &= \frac{P(n, r)}{P(r, r)}\\ &= \frac{n!}{(n-r)!} * \frac{1}{r!}\\ &= \frac{n!}{r!(n-r)!}& \end{flalign*}$

二项式系数： – 来自一组的组合元素如果表示为 $\binom{n}{r}$ .这个数字也称为二项式系数，因为它作为二项式表达式幂展开的系数出现。
让和是变量和是一个非负整数。然后

$\begin{flalign*} (x+y)^n &= \sum_{j=0}^{n} \binom{n}{j} x^{n-j}y^j\\ &= \binom{n}{0}x^{n} + \binom{n}{1}x^{n-1}y +...+ \binom{n}{n-1}xy^{n-1} + \binom{n}{n}y^{n} \end{flalign*}$

使用组合符号的二项式展开

$(a+b)^n = ^nC_0 a^n b^0 + ^nC_1 a^{n-1} b^1 + ^nC_2 a^{n-2} b^2 .. + ^nC_{n-k} a^k b^{n-k} .. +^nC_n a^0 b^n$

编程需要懂一点英语

集合论

Set是对象的无序集合，称为集合的元素或成员。
属于集合 A 的元素 ‘a’ 可以写成 ‘a ∈ A’, ‘a ∉ A’ 表示 a 不是集合 A 的元素。

等集
如果两个集合具有相同的元素，则称两个集合相等。例如 A = {1, 3, 9, 7} 和 B = {3, 1, 7, 9} 是等集。

注意：集合中元素的顺序无关紧要。

子集

一个集合 A 被称为另一个集合 B 的子集，当且仅当集合 A 的每个元素也是另一个集合 B 的一部分。
用“ ⊆ ”表示。
‘A ⊆ B ‘ 表示 A 是 B 的子集。

为了证明 A 是 B 的子集，我们需要简单地证明如果 x 属于 A，那么 x 也属于 B。
为了证明A不是B的子集，我们需要找出一个属于集合A但不属于集合B的元素。

‘U’ 表示全集。上面的维恩图显示 A 是 B 的子集。

集合的大小
集合的大小可以是有限的或无限的。

例如
```
Finite set: Set of natural numbers less than 100.
Infinite set: Set of real numbers.
```
集合 S 的大小称为基数，表示为 |S|。

注意：空集的基数为 0。

电源组
幂集是集合S的所有可能子集。用P(S)表示。
示例：{0, 1, 2} 的幂集是多少?
解决方案：所有可能的子集
{∅}, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}。
注意：空集和集本身也是这组子集的成员。

幂集的基数为，其中 n 是集合中元素的数量。

笛卡尔积
设 A 和 B 是两个集合。 A 和 B 的笛卡尔积用 A × B 表示，是所有有序对 (a, b) 的集合，其中 a 属于 A，b 属于 B。
```
A × B = {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}.
```
A × B 的基数是 N*M，其中 N 是 A 的基数，M 是 B 的基数。

注：A × B 与 B × A 不同。

联盟
集合 A 和 B 的并集，用 A ∪ B 表示，是属于集合 A 或集合 B 或两者的不同元素的集合。

路口
集合A和B的交集，用A∩B表示，是属于A和B的元素集合，即A和B中公共元素的集合。

不相交
如果两个集合的交集是空集，则称两个集合是不相交的。即集合没有公共元素。

集差
集合之间的差异用’A-B’表示，是包含集合A的元素但不包含在B中的集合。即除了B的元素之外的A的所有元素。
补充
集合 A 的补集，记为 $A^\complement$ , 是除 A 之外的所有元素的集合。集合 A 的补集是 U – A。
1. $A\cup B =n(A) + n(B) - n(A\cap B)$
2. $A-B=A\cap \bar{B}$
团体
一个非空集 G, (G, *) 被称为群，如果它遵循以下公理：
- 闭包： (a*b) 对所有 a, b ∈ 都属于 G G。
- 结合性： a*(b*c) = (a*b)*c ∀ a, b, c 属于 G。
- 标识元素：存在 e ∈ G 使得 a*e = e*a = a ∀ a ∈ G
- 逆： ∀ a ∈ G 存在一个^-1 ∈ G 使得 a*a ^-1 = a ^-1 *a = e
关系和功能

|A| = m 和 |B| = n，那么
1. 从 A 到 B 的函数数 = n ^m
2. 一对一函数= (n, P, m)
3. on函数=n ^m – (n, C, 1)*(n-1) ^m + (n, C, 2)*(n-2) ^m …。 +(-1) ^m *(n, C, n-1)，如果 m >= n； 0 否则
4. 双射函数|A|的必要条件= |B|
5. 没有。双射函数=n！
6. 关系数 =2^百万
7. 反身关系数 =2 ^n(n-1)
8. 对称关系数 = 2 ^n(n+1)/2
9. 反对称关系数 = 2 ⁿ *3 ^n(n-1)/2
10. 非对称关系数 = 3 ^n(n-1)/2
11. 非自反关系数 = 2 ^n(n-1)

12. 一个关系是偏序的，如果
```
1) Reflexive
    2) Antisymmetric
    3) Transitive
```
13. 认识半格：
```
For all a, b belongs to L a∧b exists 
```
14.加入半格
```
For all a, b belongs to L a∨b exists 
```
15.如果一个偏序集既是相遇又是连接半格，则称为格
16.互补格：每个元素都有互补
17. 分配格：每个元素都有 0 或 1 个补码。
18.布尔格：它应该是互补的和分配的。每个元素都有一个补码。
19. 一个关系是等价的，如果
```
1) Reflexive
    2) symmetric
    3) Transitive
```
图论

1. 完整图中的边数 = n(n-1)/2
2.二部图：同一分区的任意两个顶点之间没有边。在完整的二分图中没有。边数=m*n
3.所有顶点的度数总和等于边数的两倍。
4. 最大数量图中 n 个顶点的连通分量 = n
5. 最小连通分量数 =
```
0 (null graph)
1 (not null graph) 
```
6. 最少数量具有 n 个顶点的连接图的边数 = n-1
7.为了保证一个有n个顶点的图是连通的，最少没有。所需边数 = {(n-1)*(n-2)/2 } + 1
8. 如果一个图最多存在 2 个奇数顶点，则该图是欧拉图
9. 树
```
-> Has exactly one path btw any two vertices
    -> not contain cycle
    -> connected
    -> no. of edges = n -1
```
10. 对于完整的图表，没有。生成树的可能数 = n ^n-2
- 一个图是平面图当且仅当它不包含 K ₅和 K _{3, 3}的细分作为子图。
- 设G为连通平面图，n、m、f分别表示G平面图中的顶点数、边数和面数。则n-m+f=2。
- 设 G 是一个有 n 个顶点和 m 个边且没有三角形的连通平面简单图。然后 m ≤ 2n – 4。
- 设 G 是一个有 n 个顶点的连通平面简单图，其中 n ? 3 和 m 边。然后 m ≤ 3n – 6。