门 | GATE-CS-2004 |问题 10

这道题目涉及到图论中经典的两个问题：可达性问题和欧拉回路问题。

可达性问题

题目描述：给定一个有向图和一个起点s，判断是否存在一种路径从s到达图中的所有节点。

这个问题可以通过深度优先搜索（DFS）算法来解决。我们可以从s出发，使用DFS遍历整个图，同时记录已经被访问的节点。当DFS结束时，若已经访问的节点数等于图中节点数，则说明从s出发可以到达所有节点，否则就存在节点无法到达。

以下是Python的DFS实现：

def dfs(graph, visited, v):
    visited[v] = True
    for i in graph[v]:
        if not visited[i]:
            dfs(graph, visited, i)

def is_reachable(graph, start):
    n = len(graph)
    visited = [False] * n
    dfs(graph, visited, start)
    return all(visited)

其中，图由邻接表表示，visited数组记录节点是否被访问，start是起点。

欧拉回路问题

题目描述：给定一个有向欧拉图，求其中的欧拉回路。

有向欧拉图指的是所有节点的入度和出度相等的有向图。欧拉回路指的是一条回路，它经过图中的所有边恰好一次。

欧拉回路问题可以使用Fleury算法解决。其主要思路是一直选择剩余边中最小的那一条，如果该边不是桥边（即去掉该边后图不连通），就可以继续选择该边。否则，就选择次小的那条边。

以下是Python的Fleury算法实现：

def fleury(graph, start, edges):
    path = [start]
    while edges:
        possible_edges = [e for e in edges if path[-1] in e]
        bridge_edges = []
        for e in possible_edges:
            e1, e2 = (e[0], e[1]), (e[1], e[0])
            graph[e1].remove(e)
            if not is_reachable(graph, path[-1]):
                bridge_edges.append(e)
            graph[e1].append(e)
        if not bridge_edges:
            next_edge = possible_edges[0]
        else:
            bridge_edges.sort()
            next_edge = bridge_edges[0]
        edges.remove(next_edge)
        next_node = next_edge[1] if next_edge[0] == path[-1] else next_edge[0]
        path.append(next_node)
    return path

其中，graph是邻接表，start是起点，edges是所有边的列表。

总结

这道题目是一道综合性较强的图论问题。通过注意分析题目中所涉及到的两个子问题，我们可以分别使用DFS和Fleury算法解决。同时，也应该注意到题目中的条件和限制：有向图、欧拉图等等。

完整的Python代码实现见Github。