将数组拆分为 K 个不重叠的子集，使得所有子集和中的最大值最小

问题描述

给定一个非负整数数组和一个正整数 k，将数组分隔成 k 个非空的子集，使得这 k 个子集的和的最大值最小，输出这个最小的和。

解决方案

思路

这道题是一道非常经典的贪心算法问题，我们使用二分搜索和贪心算法结合的方法来解决这个问题。具体思路如下：

• 使用二分搜索找到可能的子集和的最大值，其范围应该在数组元素的最大值和数组元素之和之间。
• 对于每个可能的子集和的最大值，使用贪心算法来检查是否可以将数组分割成 k 个非空的子集，使得每个子集的和都不大于这个最大值。我们可以按照从大到小的顺序依次选择数组元素，将其放入当前子集中，直到当前子集的和大于最大值为止。然后我们转入下一个子集，继续按照同样的方式来选取数组元素，直到所有子集被填满。如果最后所有子集都被填满，并且数组中的所有元素都被使用了，则说明我们找到了一个可能的解。如果某个子集无法被填满，则说明这个可能的解不可行。最后我们继续二分搜索，直到找到最小的满足条件的子集和。

代码实现

class Solution:
    def splitArray(self, nums: List[int], k: int) -> int:
        left, right = max(nums), sum(nums)
        while left <= right:
            mid = left + (right - left) // 2
            if self.check(nums, mid, k):
                right = mid - 1
            else:
                left = mid + 1
        return left

    def check(self, nums, target, k):
        cnt, cur_sum = 0, 0
        for num in nums:
            if num > target:
                return False
            if cur_sum + num > target:
                cnt += 1
                cur_sum = num
            else:
                cur_sum += num
        cnt += 1
        return cnt <= k

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n\times log_2(\frac{\sum nums}{k}))$，其中 n 是数组的长度，$\sum nums$ 是数组元素之和。使用二分搜索的时间复杂度为 $O(log_2(\frac{\sum nums}{k}))$，check 函数的时间复杂度为 $O(n)$，一共执行 $O(log_2(\frac{\sum nums}{k}))$ 次 check 函数。
• 空间复杂度：$O(1)$。