找到长度至少为 K 的子数组的最大中位数

问题描述

给定一个整数数组 nums 和一个正整数 K，找到长度为至少为 K 的连续子数组中的最大中位数。

中位数是指将一个数组按升序排序后，存在于数组中间的值。如果数组的长度是偶数，则中位数是中间两个数字的平均值。

假设 nums 的长度为 n，则 1 <= K <= n <= 10^5，-10^5 <= nums[i] <= 10^5。

解决方案

思路

首先，我们需要注意到一个性质：如果一个子数组的中位数是 m，那么它的左侧有一半元素小于 m，右侧有一半元素大于 m。

因此，我们可以通过二分查找来判断一个给定的值是否是符合要求的最大中位数。

那么我们就可以进行二分查找，答案的范围是整个数组中的最大值和最小值。在每一次查找时，我们计算出待查找的值 mid 在数组中的排名。我们将数组中的每个元素减去 mid，然后计算前缀和，用前缀和的值构建一个新的数组。如果新数组的长度超过 K，那么我们就可以将前 K 个前缀和进行排序，其中最小的给定前 K 个前缀和之差，如果差大于零，说明排名靠前的子数组的中位数不大于 mid，那么我们就将当前的范围缩小到大于 mid 的值；否则我们就将范围缩小到小于 mid 的值。

在查找过程中，如果找到了一个符合要求的值，我们就可以退出循环，返回该值。

代码

class Solution:
    def max_median_subarray(self, nums: List[int], k: int) -> int:
        n = len(nums)
        lo, hi = -10**5, 10**5
        
        def is_valid(mid):
            prefix_sums = [0] * (n + 1)
            for i in range(1, n + 1):
                prefix_sums[i] = prefix_sums[i - 1] + (nums[i - 1] - mid)
            
            if n - k + 1 <= 0:
                return False
            
            min_sum = 0
            for i in range(k, n + 1):
                if prefix_sums[i] - min_sum >= 0:
                    return True
                min_sum = min(min_sum, prefix_sums[i - k + 1])
            return False
        
        while lo < hi:
            mid = (lo + hi + 1) // 2
            if is_valid(mid):
                lo = mid
            else:
                hi = mid - 1
        
        return lo

该算法的时间复杂度是 $O(n \log(10^5))$，其中 $n$ 是数组 nums 的长度。