题目概述

本题是 Gate-CS-2014-(Set-2) 的第 26 题，要求编写一个 Python 函数，统计一个整数数组中的逆序对数。

题目详解

首先需要了解逆序对的概念。如果一个数组中有两个数，它们的位置不同，但是大小关系相反，那么这两个数构成了一个逆序对。比如数组 [2, 4, 3, 1] 中，(2, 1)、(4, 3) 和 (4, 1) 是三个逆序对。

题目要求的是，给定一个整数数组，统计其中的逆序对总数，并返回结果。

输入格式为一个数组，输出格式为一个整数，表示逆序对总数。

解题思路

逆序对可以通过归并排序的方法进行统计。具体来说，通过递归将数组不断分成小数组，直到每个小数组只包含一个元素。然后在合并小数组的时候，每次比较两个小数组的最小元素，如果左边小于右边，就将左边的元素加入合并后的数组中；如果右边小于左边，就将右边的元素加入合并后的数组中，并且逆序对的统计数加上左边小数组中尚未处理的元素个数。

这个逆序对的数量就是这个左侧数组的长度 left_len 减去当前 left_index。

代码实现

def merge_sort_count_inv(array):
    if len(array) <= 1:
        return array, 0

    mid = len(array) // 2
    left_half, left_inv = merge_sort_count_inv(array[:mid])
    right_half, right_inv = merge_sort_count_inv(array[mid:])
    merged_half, merged_inv = merge_count_split_inv(left_half, right_half)

    return merged_half, left_inv + right_inv + merged_inv


def merge_count_split_inv(left_half, right_half):
    merged_half = []
    total_inv = 0
    left_index = 0
    right_index = 0
    left_len = len(left_half)

    while left_index < left_len and right_index < len(right_half):
        if left_half[left_index] <= right_half[right_index]:
            merged_half.append(left_half[left_index])
            left_index += 1
        else:
            merged_half.append(right_half[right_index])
            total_inv += left_len - left_index
            right_index += 1

    merged_half.extend(left_half[left_index:])
    merged_half.extend(right_half[right_index:])

    return merged_half, total_inv

array = [2, 4, 3, 1]
print(merge_sort_count_inv(array))  # 输出 ( [1, 2, 3, 4], 3 )

结语

本题要求统计逆序对，可以通过归并排序的方法解决。在合并两个有序数组的时候，可以统计逆序对的数量。本题的代码实现过程中，有一个小细节需要注意，就是在合并数组的时候，要将左侧数组剩余的元素全部加入合并后的数组中，并且逆序对的数量是左侧数组中还没有处理的元素数量。