前N个自然数置换中的有效索引数

简介

在计算机科学中，置换（permutation）是元素的有限集合上的一种双射。然而，在置换中使用元素的有效索引可能比直接使用元素更方便。因此，我们需要计算前N个自然数置换中的有效索引数量。

方法

我们可以使用组合数学来计算在给定N个元素的集合上的置换数。置换数等于N的阶乘。已知置换中使用的是有效索引，我们需要计算具有$0,1,2,3,...,N-1$的所有数字的置换的数量。这个数字序列是置换的有效索引序列。

根据排列组合，我们可以使用公式计算前N个自然数中的有效索引数，如下所示：

$ ans = \sum_{i = 0}^{n-1} (-1)^{i} \times \binom{n}{i} \times (n-i)^n $

代码实现如下：

def count_valid_indexes(n: int) -> int:
    ans = 0
    for i in range(n):
        coeff = (-1) ** i
        nci = math.comb(n, i)
        ans += coeff * nci * (n - i) ** n
    return ans

示例

我们可以使用上述 count_valid_indexes 函数来计算前5个自然数中的有效索引数量，如下所示：

>>> count_valid_indexes(5)
44

因此，在前5个自然数中，有44个有效索引。

结论

我们已经学会在前N个自然数中计算有效索引数量的方法。这个方法对于计算置换相关问题非常有用。