在前N个自然数的置换中找到子数组的数量，以使它们的中位数为M

问题描述

给定一个长度为N的自然数序列，从中选取长度为K的连续子数组，并让它们的中位数为M，求有多少种选法。

解决方案

首先，我们可以观察到自然数序列的特点：

• 数字范围为[1, N]
• 序列中的数字互不相同

由于序列中的数字互不相同，所以对于任意一个选定的长度为K的连续子数组，它们的中位数只可能是序列中的某一个数字。因此，我们只需要枚举中位数为M的所有连续子数组即可。

考虑如何枚举中位数为M的连续子数组。

我们可以将序列中所有小于M的数字替换为0，将所有大于M的数字替换为1，这样就将序列转化为了一个01序列。

对于长度为K的连续子数组，它们的中位数为M当且仅当：

• K为奇数，并且子数组中包含M，或者
• K为偶数，子数组中包含M和M+1

因此，我们可以枚举子数组中包含M的位置，并确定子数组的长度，进而确定子数组中间的位置。

具体实现时，我们可以通过两个指针来维护当前子数组的起始位置和终止位置，并记录子数组中0和1的数量。当子数组中1的数量达到K/2（对于偶数K，还需要判断1的数量是否恰好为K/2），即可确定子数组的中间位置。

代码如下：

def count_subarrays(nums, M):
    """
    在前N个自然数的置换中找到子数组的数量，
    以使它们的中位数为M。
    """
    N = len(nums)
    count = 0
    for i in range(N):
        # 将小于M的数字替换为0，将大于M的数字替换为1
        nums[i] = nums[i] < M
    
    # 枚举子数组中包含M的位置
    for i in range(N):
        # 初始时，子数组中没有0和1
        zeros, ones = 0, 0
        # 右指针指向子数组中最后一个元素的下一个位置
        j = i
        # 左指针指向子数组中第一个元素的位置
        k = i - 1
        # 枚举子数组的长度
        for _ in range(int((N-i+1)/2)):
            # 更新指针和0/1的数量
            if k >= 0:
                zeros += 1 - nums[k]
                ones += nums[k]
            if j < N:
                zeros += 1 - nums[j]
                ones += nums[j]
            # 判断中位数是否为M
            if (j-k-1) % 2 == 0 and zeros >= (j-k-1) / 2 and ones >= (j-k-1) / 2:
                count += 1
            elif (j-k-1) % 2 == 1 and ones == (j-k-1) / 2 + 1:
                count += 1
            # 更新指针
            k -= 1
            j += 1
    
    return count

总结

本题的解决思路是通过将序列转化为01序列，然后枚举子数组中包含M的位置，进而确定子数组的中间位置，最终判断子数组的中位数是否为M来计算数量。具体实现时，需要注意偶数长度的子数组中位数的判断。