最小化到规范形式的转换

在计算机科学中，我们经常需要将一个自动机(automaton)转换成规范形式(canonical form)。规范形式是指唯一确定的、和机器的某些特定方面相关的表达方式。最小化到规范形式的转换是指把自动机转换成一种具有最小状态数的规范形式。

常见的自动机

在最小化到规范形式的转换中，我们通常需要用到以下几种自动机：

DFA

确定性有限状态自动机(deterministic finite automata，简称 DFA)描述了一个在给定输入下能够形成的所有状态以及状态转移。具体来说，DFA 指的是一个 5 元组 (Q, Σ, δ, q₀, F)，其中：

• Q 是有限状态集合；
• Σ 是输入字母表；
• δ：Q × Σ → Q 是状态转移函数；
• q₀ ∈ Q 是初始状态；
• F ⊆ Q 是终止状态集合。

NFA

非确定有限状态自动机(nondeterministic finite automata，简称 NFA)与 DFA 类似，但它允许在某些情况下有多个状态转移。具体来说，NFA 指的是一个 5 元组 (Q, Σ, δ, q₀, F)，其中：

• Q 是有限状态集合；
• Σ 是输入字母表；
• δ：Q × Σ → P(Q) 是状态转移函数，P(Q) 是所有 Q 的子集；
• q₀ ∈ Q 是初始状态；
• F ⊆ Q 是终止状态集合。

ε-NFA

带 ε 转移的非确定有限状态自动机(epsilon-nondeterministic finite automata，简称 ε-NFA)与 NFA 类似，但它额外允许了 ε 转移。具体来说，ε-NFA 指的是一个 5 元组 (Q, Σ, δ, q₀, F)，其中：

• Q 是有限状态集合；
• Σ 是输入字母表；
• δ：Q × (Σ ∪ {ε}) → P(Q) 是状态转移函数，P(Q) 是所有 Q 的子集；
• q₀ ∈ Q 是初始状态；
• F ⊆ Q 是终止状态集合。

自动机的最小化

给定一个自动机，我们可以通过以下步骤将它转换成规范形式：

1. 确定状态等价关系。

   状态等价是指对于一个自动机中的任意两个状态，它们所能到达的状态集合完全相同。我们可以先将状态划分为两个集合：终止状态集合和非终止状态集合。然后对于每个集合中的状态对 $(p,q)$：

   如果 $p$ 和 $q$ 不在同一集合中，并且对于输入字母表中的每个符号 $a$，它们所能到达的状态对的集合不同，则将 $p$ 和 $q$ 划分到不同的集合中。

   重复该过程，直到状态集合不再发生变化为止。

2. 构造 DFA。

   在确定状态等价关系后，我们可以用刚才的状态等价关系来构造一个 DFA，其中状态数是最小的。具体来说，对于每个等价状态集合，我们将它作为 DFA 的一个状态。

   对于 DFA 中的每个状态 $p$ 和输入字母表中的每个符号 $a$，它的下一状态为所有等价于 $δ(p,a)$ 的状态集合的并集。DFA 的初始状态是等价于自动机原始状态集合的状态，终止状态集合等价于自动机的终止状态集合。

实现

下面是一个 Python 程序，它实现了最小化到规范形式的转换算法：

def minimize_dfa(dfa):
    # Step 1: determine equivalent states
    equivalent = [set(dfa.states) - set(dfa.final_states), set(dfa.final_states)]
    while True:
        new_equiv = []
        for eq in equivalent:
            eq1, eq2 = [], []
            for p in eq:
                next_states = {dfa.transition_function(p, a) for a in dfa.alphabet}
                if eq1 and next_states in eq1:
                    eq2.append(p)
                else:
                    eq1.append(next_states)
                    eq2.insert(0, p)
            new_equiv.extend([eq1, eq2] if len(eq2) <= len(eq1) else [eq2, eq1])           
        if new_equiv == equivalent:
            break
        equivalent = new_equiv
    # Step 2: construct minimized DFA
    new_states = [tuple(sorted(eq)) for eq in equivalent]
    new_start = new_states.index(tuple(sorted(equivalent[0])))
    new_final = [new_states.index(tuple(sorted(eq))) for eq in equivalent if dfa.contained_in(eq)]
    new_delta = {}
    for ns_idx, ns in enumerate(new_states):
        for a in dfa.alphabet:
            ns_union = set().union(*[equivalent[i] for i in ns_idx])
            next_state = tuple(sorted(set().union(*[dfa.transition_function(p, a) for p in ns])))
            next_state_idx = new_states.index(next_state)
            new_delta[(ns_idx, a)] = next_state_idx
    return DFA(len(new_states), dfa.alphabet, new_delta, new_start, new_final)

该程序中的 minimize_dfa 函数接受一个 DFA 对象，然后返回一个最小化后的 DFA 对象。