在 MATLAB 中将二次形式转换为规范形式

二次形式是指不包含一次项和常数项的二次多项式。在 Matlab 中，我们可以使用 quadform 函数来将二次形式转换为规范形式。

规范形式是指将二次形式中的二次项所对应的系数变为 $1$，其余的系数变为 $0$ 的形式。这种形式很容易被处理，因此在数学和工程领域中使用广泛。

下面是将二次形式转换为规范形式的 Matlab 代码片段：

% 输入二次形式的系数矩阵 Q 和常数向量 c
% Q 是一个 n*n 的对称矩阵，c 是一个 n*1 的列向量
% 输出规范形式的系数矩阵 A 和常数项 b
% A 是一个 n*n 的对称矩阵，b 是一个常数

function [A, b] = quadform(Q, c)
    n = size(Q, 1);
    A = eye(n);
    b = 0;
    
    for i = 1:n
        for j = i+1:n
            A(i, j) = Q(i, j) / 2;
            A(j, i) = A(i, j);
        end
        b = b + Q(i, i) * c(i)^2;
    end
end

这个函数首先初始化一个 $n \times n$ 的单位矩阵 A 和一个常数项 b，然后通过遍历输入的系数矩阵 Q 来计算 A 和 b 的值。在循环中，我们将非对角线上的元素除以 $2$ 并复制到对称位置，然后将对角线上的元素与常数项 c 相乘加到 b 中。

使用示例：

% 输入二次形式的系数矩阵 Q 和常数向量 c
Q = [3 -1 0; -1 2 -1; 0 -1 1];
c = [2; -1; 3];

% 调用 quadform 函数，将二次形式转换为规范形式
[A, b] = quadform(Q, c);

% 输出规范形式
disp('The normalized form is:');
disp(['A = ', mat2str(A)]);
disp(['b = ', num2str(b)]);

输出结果：

The normalized form is:
A = [1, -0.5, 0;
     -0.5, 1, -0.5;
     0, -0.5, 1]
b = 23

在这个例子中，我们将二次形式 $2x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2 - x_2x_3 + 3x_3^2$ 转换为了规范形式 $x_1^2 - 0.5x_1x_2 + x_2^2 - 0.5x_2x_3 + x_3^2 + 23$。

参考文献：

1. https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/quadform.html
2. https://mathworld.wolfram.com/QuadraticForm.html