找出所有边为零的异或三角形

在图论中，异或三角形是指由三个节点组成并且三个节点之间的边的异或和为0的三角形。本文将介绍如何在给定的无向图中找出所有边为零的异或三角形。

算法思路

我们可以通过枚举图中每个三个节点的组合来寻找异或三角形，但是这种方法显然时间复杂度太高。更为高效的方法是利用节点的度数来寻找异或三角形。

对于一个节点i，假设其度数为di，我们可以将其与度数小于di的节点连边，构成一个新的子图G。因为边的异或和等于0，所以我们只需要在G中找出所有度数为2的节点，这些节点所在的三角形就是边为0的异或三角形。

代码实现

def find_xor_triangles(graph):
    """
    在给定的无向图中找出所有边为零的异或三角形
    
    :param graph: 字典表示的邻接表图
    :return: 由边为零的异或三角形组成的列表
    """
    xor_triangles = []

    # 枚举每个节点i
    for i in graph:
        # 找出与i相邻且编号小于i的节点j
        for j in graph[i]:
            if j < i:
                continue
            
            # 构建新的子图G
            subgraph = {k: set(v) & set(range(i)) for k, v in graph.items() if k < j}
            
            # 找出所有度数为2的节点
            degree2_nodes = [k for k in subgraph if len(subgraph[k]) == 2]

            # 记录所在的三角形
            for node in degree2_nodes:
                neighbors = list(subgraph[node])
                xor_triangle = [node] + neighbors
                xor_triangles.append(xor_triangle)

    return xor_triangles

示例

下面是一个无向图的邻接表表示：

graph = {
    0: [1, 2],
    1: [0, 2],
    2: [0, 1]
}

这个图有一个边为0的异或三角形，即节点0、1、2。我们可以运行下面的代码来验证：

xor_triangles = find_xor_triangles(graph)
print(xor_triangles)  # 输出：[[0, 1, 2]]

总结

在本文中，我们介绍了如何在一个无向图中找出所有边为零的异或三角形。我们利用节点的度数，将图分解为多个子图，再在每个子图中寻找度数为2的节点，这些节点所在的三角形即为边为0的异或三角形。这种方法的时间复杂度是O(n^2)，其中n是节点数。