ISRO CS 2011 - 问题 15

问题描述

给定一个数组A，包含N个正整数。定义以下函数：

f(x) = 数组A中所有小于等于x的数字的个数

写一个函数实现上述功能，并返回该数组的函数值。

函数签名

def count_numbers_less_than_or_equal_to_x(n: int, arr: list[int], x: int) -> int:
    pass

输入

• 第一行为一个整数T，表示测试用例数量。
• 对于每个测试用例，第一行为一个整数N，表示数组的大小。
• 接下来一行包含N个整数，表示数组A。
• 最后一行为一个整数X，表示要查找的数字。

输出

• 对于每个测试用例，输出函数f(x)的值。

示例

输入：

2
5
1 2 4 5 8
4
4
1 2 2 2 3
2

输出：

3
4

解释

示例1： 数组A中小于等于4的数字有1、2、4，共3个。 示例2： 数组A中小于等于2的数字有1、2、2、2，共4个。

解题思路

最简单的方法是使用两个嵌套循环，寻找小于等于x的数字个数。时间复杂度是$O(N^2)$。但是，这种方法的时间复杂度较高，不建议使用。

更优秀的解法是先排序数组，然后使用二分查找寻找第一个大于x的数字的下标，该下标即为小于等于x的数字的个数。时间复杂度为$O(N\log N)$。

要注意一点的是，在使用二分查找时，如果数组里存在与x相等的数字，则需要返回与x相等的最后一个数字的下标，这是因为题目要求小于等于x的数字个数，而不是小于x的数字个数。

参考实现

def count_numbers_less_than_or_equal_to_x(n: int, arr: list[int], x: int) -> int:
    # 先对数组排序
    arr.sort()

    # 在排好序的数组中查找第一个大于x的数字的位置
    l, r = 0, n - 1
    while l <= r:
        mid = l + (r - l) // 2
        if arr[mid] > x:
            r = mid - 1
        else:
            l = mid + 1

    # 如果数组中存在与x相等的数字，则需要从后往前查找最后一个相等的数字的位置
    while r >= 0 and arr[r] == x:
        r -= 1

    return r + 1  # 返回小于等于x的数字的个数

该函数的时间复杂度为$O(N\log N)$，空间复杂度为$O(1)$。