给定二进制数组中面积为K的矩形的计数仅由1组成

在二进制数组中，以为1的元素为一个点，可以组成多个矩形，其中有些是由1组成的，有些不是。考虑如何计算给定二进制数组中面积为K的矩形的数量，且这些矩形中的每个元素都是1。

解题思路

暴力解法

一种简单的方法是，对于每个1，遍历向右和向下来找到矩形的右下角，并检测是否仅由1组成，若满足条件则计数器加1。这种方法的时间复杂度为O(n^3)，不适合大规模数据。

前缀和

我们可以使用前缀和技术来优化解法。对于每个元素，计算从左上角到该元素为右下角的矩形中1的个数，保存在一个前缀和矩阵中。例如，假设我们有以下输入矩阵：

1 0 1 1
1 0 1 1
1 1 1 1

我们可以得到以下前缀和矩阵：

1 1 2 3
2 2 4 6
3 4 7 10

现在我们可以利用前缀和矩阵来计算面积为K的矩形。对于以下的输入矩阵：

1 0 1
1 1 1

前缀和矩阵为：

1 1 2
2 3 5

要寻找面积为2的矩形，我们可以枚举左上角(i,j)和右下角(x,y)，然后检查是否满足以下条件：

sum(x,y)-sum(x,j-1)-sum(i-1,y)+sum(i-1,j-1)=K

其中，sum是前缀和矩阵的函数。这个式子的意思是计算右下角为(x,y)、左上角为(i,j)的矩形中1的数量，然后检查是否为K。

代码实现

我们可以使用Python实现前缀和算法，代码如下：

def subMatrix( matrix: List[List[int]], k: int) -> int:
    row, col = len(matrix), len(matrix[0])
    prefix_sum = [[0]*(col+1) for _ in range(row+1)]

    # 计算前缀和矩阵
    for i in range(1, row+1):
        for j in range(1, col+1):
            prefix_sum[i][j] = matrix[i-1][j-1] + \
                prefix_sum[i][j-1] + prefix_sum[i-1][j] - prefix_sum[i-1][j-1]

    # 统计面积为K的矩形数量
    count = 0
    for i in range(1, row+1):
        for j in range(1, col+1):
            for x in range(i, row+1):
                for y in range(j, col+1):
                    if prefix_sum[x][y]-prefix_sum[x][j-1]-prefix_sum[i-1][y]+prefix_sum[i-1][j-1] == k:
                        count += 1

    return count

总结

本文介绍了一种计算给定二进制数组中面积为K的矩形数量的方法，要求这些矩形中的每个元素都是1。该算法的时间复杂度为O(n^3)，空间复杂度为O(n^2)，适用于小规模数据。如果需要处理大规模数据，可以使用更高效的算法，例如Kadane's algorithm。