门| GATE CS Mock 2018年|套装2 |问题22

这是GATE计算机科学模拟考试2018年的第22个问题。这个问题涉及到了数学操作和编程语言。你可以通过下面给出的完整题目来了解更多信息。

题目描述

给定一个数组A，大小为N，定义如下：

B[i] = sum(A[j]), 0 <= j <= i

其中sum(A[j])表示A[j]处以及之前的所有元素的和。数组B将是一个单调递增的数组。

对于一个元素B[i]，定义j(i)表示最大的整数j，使得B[j] < B[i]。如果没有j满足这个条件，则j(i)=-1。现在，给出一个完整的定义如下：

1. 有一个由N个整数组成的数组A。
2. 定义数组B，其中 B[i] = sum(A[j]), 0 <= j <= i。
3. 对于每个i，定义j(i)如上所述。
4. 定义数组D，其中 D[i] = (j(i) - i)*B[i] - (B[j(i)] - B[i])， -1 <= j(i) <= i。

您的任务是确定数组D的最大值。

考虑输入格式：

第一行包含一个整数N，表示数组A的大小。

第二行包含N个整数，用空格分隔，表示数组A的元素。

输出格式：输出一个整数，表示数组D的最大值。

问题考点

本问题主要考察以下知识点：

1. 数学操作
2. 编程语言

解题思路

题目给出了数组A，我们需要确定数组D的最大值。

观察定义3和定义4，可以发现与j(i)有关。因此，为了解决这道题，我们首先需要找到所有j(i)。

由于数组B是单调递增的，我们可以使用二分搜索来找到j(i)。

一旦我们找到了j(i)，就可以计算出D[i]。最后，我们只需要找到D的最大值即可。

以下是解题的详细步骤：

1. 初始化一个数组‘B’，其中B[i]表示第一个i项的总和。
2. 初始化一个变量max_d，用于跟踪数组D的最大值。
3. 对于每个元素i，找到一个最大的‘j’，使得B的第j个位置小于B的第i个位置。
4. 如果找到的‘j’不等于-1，则计算D[i] = (j - i)*B[i] - (B[j] - B[i])。如果D[i] > max_d，则将D[i]赋值给max_d。
5. 返回max_d。

以下是Python3代码：

def max_sum_subarray(a: list, n: int):
    b = [0]*n
    max_d = float('-inf') # 无穷小
    b[0] = a[0]
    for i in range(1, n):
        b[i] = b[i-1] + a[i]
    for i in range(n):
        j = binary_search(b, 0, i-1, b[i] - a[i])
        if j != -1:
            d = ((j - i)*b[i]) - (b[j]-b[i])
            if d > max_d:
                max_d = d
    return max_d
 
def binary_search(a: list, low: int, high: int, x: int) -> int:
    # 二分搜索来查找数组A中的元素x，最佳复杂度为O(log n)
    if low <= high:
        mid = (low + high)//2
        if a[mid] == x:
            return mid
        elif a[mid] < x:
            return binary_search(a, mid+1, high, x)
        else:
            return binary_search(a, low, mid-1, x)
    return -1
 
n = int(input())
a = list(map(int, input().split()))
print(max_sum_subarray(a, n))

时间复杂度

该算法的时间复杂度是O(n*logn)，其中n是输入数组的大小。

空间复杂度

该算法的空间复杂度为O(n)，其中n是输入数组的大小。

参考资料

• GeeksforGeeks