GATE CS Mock 2018年|套装2 |问题5

这个问题是关于图论的，需要从一个无向图中找出最长的路径。以下是解决这个问题的算法和代码示例：

解决方法

我们可以使用深度优先搜索（DFS）算法来解决这个问题。该算法可以从一个顶点开始遍历图中的每个顶点，并且可以找到每个顶点的最长路径。

基本的思想是对于每个顶点，我们维护两个值：$d(u)$ 表示从开始顶点到当前顶点 $u$ 的最长距离，$p(u)$ 表示顶点 $u$ 的前驱顶点。当我们访问到一个顶点 $v$ 时，我们会遍历它的所有邻居顶点 $n \in N(v)$，并通过更新距离和前驱顶点来标记它们。如果新的 $d(u)$ 值比当前已经标记的最长路径更长，那么我们会用新值更新最长路径，同时更新 $p(u)$ 值。

具体算法步骤如下：

1. 初始化 $d$ 和 $p$ 值：首先我们将每个顶点的距离设置为无穷大（表示不可达）并且将前驱节点设置为空。
2. 对于顶点 $v$，从中开始 DFS 遍历整个图。
3. 对于每个邻居顶点 $n$，更新 $d(n)$ 和 $p(n)$ 值。
4. 继续递归访问 $n$ 顶点，从而在整个图中查找最长路径。（使用 $p$ 值可以从末尾顶点递归回到源顶点，并回溯路径。）

时间复杂度分析

该算法的时间复杂度为 $O(V+E)$，其中 $V$ 为顶点数，$E$ 为边数。因此，它是一个非常高效的算法，可以在很短的时间内计算出最长路径。

代码示例

以下是使用 Python 语言实现上述算法的代码示例：

from collections import defaultdict

class Graph:
    def __init__(self):
        self.graph = defaultdict(list)
        
    def addEdge(self, u, v):
        self.graph[u].append(v)
        self.graph[v].append(u)
        
    def DFS(self, node, visited, d, p):
        visited[node] = True
        
        for neighbor in self.graph[node]:
            if not visited[neighbor]:
                d[neighbor] = d[node] + 1
                p[neighbor] = node
                self.DFS(neighbor, visited, d, p)
                
    
    def longestPath(self, start_node):
        visited = {node: False for node in self.graph}
        d = {node: float('-inf') for node in self.graph}
        p = {node: None for node in self.graph}
        
        d[start_node] = 0
        
        self.DFS(start_node, visited, d, p)
        
        max_distance = max(d.values())
        end_node = [k for k, v in d.items() if v == max_distance][0]
        
        path = []
        while end_node is not None:
            path.append(end_node)
            end_node = p[end_node]
            
        return path[::-1], max_distance

此外，我们还需要为这个类添加边和顶点：

g = Graph()
g.addEdge(1, 2)
g.addEdge(1, 3)
g.addEdge(2, 4)
g.addEdge(2, 5)
g.addEdge(3, 6)
g.addEdge(5, 7)
g.addEdge(6, 8)
g.addEdge(6, 9)

path, max_distance = g.longestPath(1)

# 输出：([1, 2, 5, 7], 3)
print(path, max_distance)

这应该会输出 [1, 2, 5, 7] 3，表示最长路径长度为 3，且从顶点 1 开始路径为 [1, 2, 5, 7]。