通过删除K长度子数组，最大和最小数组元素之间的差异最小

问题描述

给定一个长度为N的整数数组nums和一个整数k。在最多删除长度为k的子数组的情况下，找到可以使最大值和最小值之间的差最小的方案，并返回此差。

解决方案

Step 1: 暴力枚举

最直观的想法是，对于原数组nums中的每一个子数组，判断其长度是否小于等于k，如果是，则计算其中的最大值和最小值之差，并与当前最小差值进行比较。在枚举完所有子数组之后，即可得到最小差值。

def min_diff(nums, k):
    n = len(nums)
    res = float('inf')
    for i in range(n):
        for j in range(i, n):
            if j - i + 1 <= k:
                res = min(res, max(nums[i:j+1])-min(nums[i:j+1]))
    return res

该解法的时间复杂度为$O(N^3)$，无法通过大规模的测试数据。

Step 2: 维护单调队列

注意到，在Step 1中，对于某一个子数组，可能多次进行重复计算。因此，我们可以尝试通过维护单调队列的方式优化此问题。

具体地，我们可以维护两个单调队列，分别表示当前子数组中的最小值和最大值。对于任意子数组$[l, r]$，若其长度不超过k，则当前最小差值为$min(val_{max} - val_{min})$，其中$val_{max}$和$val_{min}$分别为两个单调队列中的队头元素。

当扩展子数组时，若其长度依然不超过k，则只需要将新的元素加入队尾，并更新单调队列的单调性即可。若长度超过k，则更新单调队列，并移除前面的元素，使得子数组长度不超过k。

def min_diff(nums, k):
    n = len(nums)
    minq, maxq = [], []
    res = float('inf')
    for r in range(n):
        while minq and nums[minq[-1]] >= nums[r]:
            minq.pop()
        while maxq and nums[maxq[-1]] <= nums[r]:
            maxq.pop()
        minq.append(r)
        maxq.append(r)
        while minq[0] <= r - k:
            minq.pop(0)
        while maxq[0] <= r - k:
            maxq.pop(0)
        if r >= k - 1:
            res = min(res, nums[maxq[0]] - nums[minq[0]])
    return res

该解法的时间复杂度为$O(N)$，可以通过大规模的测试数据。

总结

通过维护单调队列，可以有效地解决本问题。具体地，我们可以维护两个单调队列，分别表示当前子数组中的最小值和最大值。通过记录最小差值，可以在不枚举所有子数组的情况下，找到可以使最大值和最小值之间的差最小的方案。