移除最小硬币，使得任意两堆之间的绝对差小于 K

介绍

这是一个算法问题，给定 $n$ 堆硬币，每堆硬币的数量为 $a_i$。我们可以从其中挑选一些硬币，使得其它堆中的硬币数量之差与这些硬币的数量之差的绝对值都不超过 $K$，求此时可以取得的最大硬币数量。

例如，对于三堆硬币 $[3, 2, 6]$，当 $K=1$ 时，我们可以从第一堆取走一个硬币，从第二堆取走一个硬币，此时第一堆和第二堆之间的绝对差为 $1$，第一堆和第三堆之间的绝对差为 $3$，第二堆和第三堆之间的绝对差为 $4$，都满足不超过 $K$ 的限制，此时可以取得 $2$ 枚硬币。

解法

该问题可以使用贪心法解决。我们首先对每一堆硬币进行排序，然后对于第 $i$ 堆硬币，我们选择取走前 $j$ 枚硬币，使得它和前面的 $i-1$ 堆硬币之间的绝对差都不超过 $K$。此时，我们可以获得前 $j$ 枚硬币的总数目。

对于每一堆硬币，我们考虑使用二分查找找到最大的 $j$，使得硬币 $j$ 和前面的硬币之间的绝对差不超过 $K$，接着计算前 $j$ 枚硬币的总数目。然后在这些数目中选择最大的一个，就是可以取得的最大硬币数量。整个过程的时间复杂度为 $O(n \log n)$。

下面是使用 Python 编写的代码片段：

def max_coins(coins, k):
    n = len(coins)
    coins = [sorted(a) for a in coins]
    ans = 0
    for i in range(n):
        j = search(coins[i], coins[i][0] + k)
        if j >= len(coins[i]):
            j = len(coins[i]) - 1
        ans += sum(coins[i][:j+1])
        for a in range(i+1, n):
            x = bisect_left(coins[a], coins[i][j]+1-k)
            y = bisect_right(coins[a], coins[i][j]+k)
            coins[a] = coins[a][x:y]
    return ans

def search(array, value):
    left = 0
    right = len(array) - 1
    while left <= right:
        mid = (left + right) // 2
        if array[mid] < value:
            left = mid + 1
        else:
            right = mid - 1
    return right

总结

本题要求我们在限制条件下求取最大的硬币数量，可以使用贪心法进行求解。我们对每一堆硬币进行排序，然后依次处理每一堆硬币。对于每一堆硬币，我们使用二分查找找到最大的硬币数量，计算其前面的硬币数量的总和。接着将这些硬币作为限制条件处理后面的硬币。整个过程的时间复杂度为 $O(n \log n)$。