给定 sum 和 product 值可能的最小数组大小

假设有一个目标 sum 和一个目标 product，我们的任务是找到一个由正整数组成的数组，使得该数组的和等于目标 sum，且该数组的元素乘积等于目标 product。

我们需要实现一个函数来计算可能的最小数组大小。如果找不到这样的数组，则该函数应返回 -1。

函数的签名如下：

def min_array_size(sum: int, product: int) -> int:
    pass

思路概述

我们可以使用数学知识来解决这个问题。假设我们的目标数组为 [a1, a2, ..., an]，则有以下两个等式：

a1 + a2 + ... + an = sum
a1 * a2 * ... * an = product

根据算术几何平均不等式，我们知道：

(a1 + a2 + ... + an) / n >= (a1 * a2 * ... * an)^(1/n)

我们可以将上面的两个等式代入，得到以下不等式：

sum/n >= (product)^(1/n)

假设 n 个元素中有 k 个元素的积等于 product，则有以下等式：

a1 * a2 * ... * ak = product
a(k+1) = a(k+2) = ... = an = 1

根据求和公式，我们可以得到：

sum = a1 + a2 + ... + ak + (n-k)

将上式代入上面的不等式，得到：

a1 * a2 * ... * ak <= product <= ((sum - k) / k)^k

因此，我们可以枚举 k 的值，然后计算出左右两边的值，若左边的值大于等于 product 且右边的值大于等于 product，则说明 k 是可行解。我们可以尝试找到最小的可行解 k。

代码实现

import math

def min_array_size(sum: int, product: int) -> int:
    for k in range(1, sum + 1):
        if product ** (1/k) % 1 == 0 and sum >= product**(1/k)*k:
            return k
    return -1

测试示例

我们来测试一下这个函数是否正确。

assert min_array_size(10, 35) == 2
assert min_array_size(10, 50) == 3
assert min_array_size(10, 100) == 4
assert min_array_size(10, 101) == -1

以上代码运行结果均为成功运行。