将给定的图划分为二分集

简介

在图论中，二分图是指将一个图的顶点集分为两个互不相交的子集，使得每条边的两个顶点分别属于这两个子集中的不同顶点集。也称为奇偶图或是二部图。

将给定的图划分为二分集是图论中的一个经典问题。对于程序员来说，实现这个算法可以帮助解决很多实际问题，如社交网络中的好友推荐、人力资源管理等。

实现

定义

定义一个图的话，需要记录以下两个信息：

• 图的节点数（可以通过节点集合的长度来获取）
• 图的所有边（通常表示为一个列表）

示例代码如下：

n = 4 # 节点数
edges = [(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 1)] # 图的所有边

判断是否为二分图

判断一个图是否为二分图可以使用染色法。具体做法是从任意节点开始遍历整个图，将该节点染成红色，与它相连的节点染成绿色，再将这些绿色节点相连的节点染成红色，依次类推。如果在遍历的过程中发现某个节点已经被染成了两种颜色，那么就说明该图不是二分图。

示例代码如下：

def is_bipartite(n: int, edges: List[Tuple[int, int]]) -> bool:
    # 初始化数据
    graph = defaultdict(set)
    colors = [0] * n

    # 构造图
    for u, v in edges:
        graph[u].add(v)
        graph[v].add(u)

    # bfs遍历
    queue = deque()
    for i in range(n):
        if colors[i] != 0: # 已经染色
            continue
        queue.append((i, 1))
        while queue:
            node, color = queue.popleft()
            if colors[node] != 0:  # 已经染色，需要检查颜色是否相同
                if colors[node] != color:
                    return False
                continue
            colors[node] = color
            for vertex in graph[node]:
                if colors[vertex] == color: # 颜色相同
                    return False
                if colors[vertex] == -color: # 颜色不同
                    continue
                queue.append((vertex, -color))
    return True
                

划分二分集

如果一个图是二分图的话，我们可以使用染色法中已统计好的颜色，将节点划分到两个集合里。我们可以将所有红色节点放到集合A里，将所有绿色节点放到集合B里。

示例代码如下：

def bipartite_set(n: int, edges: List[Tuple[int, int]]) -> Optional[Tuple[Set[int], Set[int]]]:
    # 检查是否是二分图
    if not is_bipartite(n, edges):
        return None
    
    # 划分集合
    a, b = set(), set()
    colors = is_bipartite(n, edges)
    for i in range(n):
        if colors[i] == 1:
            a.add(i)
        else:
            b.add(i)
    return a, b

总结

将给定的图划分为二分集是一个很实用的算法，不仅可以用于社交网络等实际问题，而且可以作为一些其他算法的前置步骤。实现过程中需要用到图的基本概念和染色法，程序员可以根据需要自行进行优化和改进。