检查给定图是否为二分图

什么是二分图？

二分图是一种特殊的图，其中所有节点可以分为两个不相交的集合，使得每条边的两个端点分别属于这两个集合。二分图也被称为双色图。

如何检查一个图是否为二分图？

可以使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）来检查一个图是否为二分图。具体方法为：

1. 将所有节点标记为未染色（或者标记为0表示未染色）。
2. 选取一个未染色的节点，标记为染色1（或者标记为1）。
3. 遍历该节点的所有邻居节点，对于每个邻居节点：
   • 如果该邻居节点未染色，将其标记为与当前节点不同的染色（例如，如果当前节点染色为1，则邻居节点染色为2，或者标记为-1）。
   • 如果该邻居节点已染色，判断其颜色是否与当前节点不同，如果颜色相同，则该图不是二分图，返回false；如果颜色不同，则跳过该节点。
4. 重复步骤2和3，直到所有节点均被染色。
5. 如果所有节点均被染色且满足二分图定义，则该图是二分图，返回true；否则，该图不是二分图，返回false。

采用BFS实现

以下是使用BFS实现的示例代码：

from collections import deque

def is_bipartite(graph):
    n = len(graph)
    color = [0] * n   # 0表示未染色，1表示染色1，-1表示染色2

    for i in range(n):
        if color[i] == 0:
            q = deque([i])
            color[i] = 1
            while q:
                node = q.popleft()
                for neighbor in graph[node]:
                    if color[neighbor] == 0:
                        color[neighbor] = -color[node]
                        q.append(neighbor)
                    elif color[neighbor] == color[node]:
                        return False
    return True

采用DFS实现

以下是使用DFS实现的示例代码：

def is_bipartite_helper(graph, node, color):
    for neighbor in graph[node]:
        if color[neighbor] == 0:
            color[neighbor] = -color[node]
            if not is_bipartite_helper(graph, neighbor, color):
                return False
        elif color[neighbor] == color[node]:
            return False
    return True

def is_bipartite(graph):
    n = len(graph)
    color = [0] * n   # 0表示未染色，1表示染色1，-1表示染色2

    for i in range(n):
        if color[i] == 0:
            color[i] = 1
            if not is_bipartite_helper(graph, i, color):
                return False
    return True

以上两个示例代码都采用了一个数组color来记录每个节点的染色情况，其中0表示未染色，1表示染色1，-1表示染色2。不同的是，BFS的实现中使用了一个队列，而DFS的实现使用了递归。两个算法的时间复杂度均为O(n+m)，其中n为节点数，m为边数。

总结

在实际应用中，判断一个图是否为二分图是非常有用的。例如，在交互式推荐系统中，可以将用户和商品分别看作一个集合，然后建立一个二分图来表示用户对商品的喜好程度，从而实现更精确的推荐。在实现二分图算法时，需要注意算法时间复杂度和空间复杂度，以及如何记录每个节点的染色情况。