门 | GATE-CS-2015(Set 3)|问题26

本次问题考察了计算机科学与编程中关于图论的概念。给出了一张有向带权图，计算从起点到终点的最长简单路径。本文为程序员提供了对该问题的解答。

问题描述

一张带有边权的有向无环图（Directed Acyclic Graph，DAG）给定，要求计算出起点到终点的最长简单路径。

问题分析

根据DAG的性质可知，该图不存在环路，因此可以采用拓扑排序确定各个节点的顺序。接下来可以利用动态规划的思想解决该问题。

设$L(i)$表示从起点到节点$i$的最长简单路径，考虑节点$i$的前驱节点$j$，则$L(i)$可以表示为$L(j)+w(j,i)$的最大值，其中$w(j,i)$表示边$(j,i)$的权值。因此$L(i)$的计算可表示为：

L(i) = max(L(j) + w(j,i))，其中i的前驱节点j
L(i) = 0, 当i为起点

采用拓扑排序依次计算各个节点的$L$值，最终得到的$L$数组中$L_{end}$即为起点到终点的最长简单路径。

Python代码实现

def longestPath(graph, start, end):
    """
    计算从起点到终点的最长简单路径

    Args:
        graph (dict): 图的邻接表表示
        start (int): 起点节点id
        end (int): 终点节点id

    Returns:
        int: 起点到终点的最长简单路径长度
    """

    # 拓扑排序
    sorted_nodes = topologicalSort(graph)

    # 初始化L数组
    L = {i: float('-inf') for i in sorted_nodes}
    L[start] = 0

    # 动态规划
    for node in sorted_nodes:
        for neighbor in graph.get(node, []):
            L[neighbor] = max(L[neighbor], L[node] + graph[node][neighbor])

    return L[end]


def topologicalSort(graph):
    """
    进行图的拓扑排序

    Args:
        graph (dict): 图的邻接表表示

    Returns:
        list: 拓扑排序后的节点列表
    """

    # 初始化入度为0的节点集合和所有节点的入度
    queue = []
    in_degree = {node: 0 for node in graph}

    # 统计每个节点的入度
    for node in graph:
        for neighbor in graph[node]:
            in_degree[neighbor] += 1

    # 将入度为0的节点入队
    for node in graph:
        if in_degree[node] == 0:
            queue.append(node)

    # 开始进行拓扑排序
    sorted_nodes = []
    while queue:
        node = queue.pop(0)
        sorted_nodes.append(node)
        for neighbor in graph.get(node, []):
            in_degree[neighbor] -= 1
            if in_degree[neighbor] == 0:
                queue.append(neighbor)

    return sorted_nodes

Python代码说明

• longestPath(graph, start, end)：计算从起点到终点的最长简单路径
  • graph：图的邻接表表示
  • start：起点节点id
  • end：终点节点id
  • sorted_nodes：拓扑排序后的节点列表
  • L：动态规划中的$L$数组
• topologicalSort(graph)：进行图的拓扑排序
  • graph：图的邻接表表示
  • queue：入度为0的节点集合
  • in_degree：所有节点的入度
  • sorted_nodes：拓扑排序后的节点列表

以上为本文对于GATE-CS-2015(Set 3)问题26的介绍，将有助于程序员更好地理解和解答该问题。